При каком наименьшем значении переменной r сумма дробей (r+4)/5 и r/(r-2) равна 3 3/5?

Решение:

Запишем условие задачи в виде уравнения:

\[ \frac{r+4}{5} + \frac{r}{r-2} = 3\frac{3}{5} \]\[ \frac{r+4}{5} + \frac{r}{r-2} = \frac{18}{5} \]

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( 5(r-2) \), чтобы избавиться от дробей. При этом учтем, что \( r \neq 2 \).

\[ 5(r-2) \left( \frac{r+4}{5} + \frac{r}{r-2} \right) = 5(r-2) \left( \frac{18}{5} \right) \]\[ (r-2)(r+4) + 5r = 18(r-2) \]

Раскроем скобки:

\[ r^2 + 4r - 2r - 8 + 5r = 18r - 36 \]\[ r^2 + 7r - 8 = 18r - 36 \]

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\[ r^2 + 7r - 18r - 8 + 36 = 0 \]\[ r^2 - 11r + 28 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \]

Найдем корни уравнения:

\[ r_1 = \frac{-(-11) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{11+3}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]\[ r_2 = \frac{-(-11) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{11-3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Оба найденных значения \( r=7 \) и \( r=4 \) не равны 2, поэтому они являются решениями уравнения.

Нам нужно найти наименьшее значение переменной \( r \), при котором сумма дробей равна \( 3\frac{3}{5} \). Сравнивая полученные корни, видим, что наименьшее значение — 4.

Ответ: 4