При каком наименьшем значении переменной r сумма дробей r-8/3 и r/(r-9) равна 5 1/3?

Решение:

Условие задачи можно записать в виде уравнения:

\[ \frac{r-8}{3} + \frac{r}{r-9} = 5\frac{1}{3} \]\[ \frac{r-8}{3} + \frac{r}{r-9} = \frac{16}{3} \]

Приведём к общему знаменателю. Умножим обе части уравнения на \( 3(r-9) \), учитывая, что \( r \neq 9 \):

\[ (r-8)(r-9) + 3r = 16(r-9) \]\[ r^2 - 9r - 8r + 72 + 3r = 16r - 144 \]\[ r^2 - 14r + 72 = 16r - 144 \]\[ r^2 - 14r - 16r + 72 + 144 = 0 \]\[ r^2 - 30r + 216 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 216 = 900 - 864 = 36 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ r_1 = \frac{-(-30) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 6}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]\[ r_2 = \frac{-(-30) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 6}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Оба значения \( r=18 \) и \( r=12 \) не равны 9, поэтому оба подходят.

Наименьшее значение переменной \( r \) равно 12.

Ответ: 12