При каком отношении массы однородной доски к массе груза \( \frac{M}{m} \) сила давления доски на левую опору в три раза больше силы давления доски на правую опору? Ответ округлите до десятых. Размеченные части доски имеют одинаковую длину.

Решение:

Задача решается с помощью правила рычага. Для равновесия момент сил, действующих на рычаг, должен быть равен нулю. Обозначим расстояние от центра тяжести доски до левой опоры как \( L_1 \), а расстояние от центра тяжести доски до правой опоры как \( L_2 \). Так как доска однородная, ее центр тяжести находится посередине. Если принять длину одной размеченной части за \( x \), то \( L_1 = 1.5x \) и \( L_2 = 1.5x \).

Сила давления на левую опору \( F_1 = mg + \frac{Mg}{2} \) (груз \( m \) плюс половина веса доски \( M \)).

Сила давления на правую опору \( F_2 = \frac{Mg}{2} \) (половина веса доски \( M \)).

По условию \( F_1 = 3 F_2 \). Подставляем выражения для \( F_1 \) и \( F_2 \):

\[ mg + \frac{Mg}{2} = 3 \cdot \frac{Mg}{2} \]\[ mg + \frac{Mg}{2} = \frac{3Mg}{2} \]\[ mg = \frac{3Mg}{2} - \frac{Mg}{2} \]\[ mg = \frac{2Mg}{2} \]\[ mg = Mg \]\[ m = M \]

Отношение массы доски к массе груза \( \frac{M}{m} \) равно \( \frac{M}{M} = 1 \).

Если же задача подразумевает, что \(m\) — это масса груза, а \(M\) — это масса доски, и силы давления на опоры складываются из веса груза и веса самой доски, то:

Пусть \( x \) — длина одной размеченной части. Левая опора находится на расстоянии \( 1.5x \) от середины доски (центра тяжести). Правая опора — на расстоянии \( 1.5x \) от середины доски.

Сила давления на левую опору \( F_1 = mg + \frac{Mg}{2} \).

Сила давления на правую опору \( F_2 = \frac{Mg}{2} \).

По условию \( F_1 = 3 F_2 \).

\[ mg + \frac{Mg}{2} = 3 \cdot \frac{Mg}{2} \]\[ mg = \frac{3Mg}{2} - \frac{Mg}{2} \]\[ mg = Mg \]\[ m = M \]

Это означает, что масса груза равна массе доски. Отношение \( \frac{M}{m} = 1 \).

Однако, если условие подразумевает, что \(m\) — это масса груза, а \(M\) — это масса всего груза (которая может быть суммой \(m\) и массы самой доски), то это условие не может быть выполнено, так как \(M\) в уравнении — это вес доски.

Перечитаем условие: «При каком отношении массы однородной доски к массе груза \( \frac{M}{m} \)...». Здесь \(M\) — масса доски, \(m\) — масса груза.

Расставим силы: на левой опоре действует сила \( F_1 \), на правой — \( F_2 \).

Вес груза \( mg \) приложен на расстоянии \( 3x \) от левой опоры (если считать левую опору началом отсчёта) или \( 2x \) от правой опоры.

Вес доски \( Mg \) приложен в центре доски, на расстоянии \( 1.5x \) от каждой опоры.

Силы, действующие на опоры, зависят от их положения относительно точек приложения весов.

Система в равновесии, значит, сумма моментов относительно любой точки равна нулю.

Возьмём момент относительно правой опоры:

\[ (mg)(2x) + (\frac{Mg}{2})(1.5x) - F_1(3x) = 0 \]

Возьмём момент относительно левой опоры:

\[ (mg)(0) + (\frac{Mg}{2})(-1.5x) + F_2(3x) = 0 \]\[ F_2(3x) = \frac{Mg}{2}(1.5x) \]\[ 3 F_2 = 1.5 \frac{M}{2} g \]\[ F_2 = \frac{1.5 Mg}{6} = \frac{Mg}{4} \]

Теперь подставим \( F_2 \) в условие \( F_1 = 3 F_2 \):

\[ F_1 = 3 \cdot \frac{Mg}{4} = \frac{3Mg}{4} \]

Теперь найдём \( F_1 \) из уравнения моментов относительно правой опоры, подставив \( F_2 = \frac{Mg}{4} \):

\[ (mg)(2x) + (\frac{Mg}{2})(1.5x) - (\frac{3Mg}{4})(3x) = 0 \]\[ 2mgx + \frac{1.5Mgx}{2} - \frac{9Mgx}{4} = 0 \]

Разделим на \( x \) и \( g \):

\[ 2m + \frac{1.5M}{2} - \frac{9M}{4} = 0 \]\[ 2m + 0.75M - 2.25M = 0 \]\[ 2m = 2.25M - 0.75M \]\[ 2m = 1.5M \]\[ \frac{M}{m} = \frac{2}{1.5} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \]

Округлим до десятых: \( \frac{4}{3} \approx 1.333... \), округляем до \( 1.3 \).

Ответ: 1.3