При каком отношении массы однородной доски к массе груза M/m сила давления доски на левую опору в три раза больше силы давления доски на правую опору? Ответ округлите до десятых. Размеченные части доски имеют одинаковую длину.

Решение:

Пусть масса однородной доски равна \( M_{доски} \), а масса груза равна \( m \). Длина доски обозначена как \( L \). Так как доска однородная, её центр масс находится посередине, то есть на расстоянии \( L/2 \) от любого края. Опоры расположены на равном расстоянии от краев доски, и размеченные части доски имеют одинаковую длину. Пусть расстояние от левого края до левой опоры равно \( x \), а расстояние от правой опоры до правого края равно \( y \). По условию, \( x = y \).

Сила давления доски на левую опору \( F_{левая} \) и на правую опору \( F_{правая} \) зависит от моментов сил относительно каждой опоры.

Для равновесия системы моменты сил относительно оси вращения (опоры) должны быть равны.

Рассмотрим моменты относительно левой опоры:

Момент от массы \( m \) (груз): \( M_{m} = m \cdot g \cdot x \) (вращает против часовой стрелки, если груз слева от опоры).

Момент от массы доски \( M_{доски} \) (центр масс на \( L/2 \)): \( M_{доски} = M_{доски} \cdot g \cdot (L/2 - x) \) (вращает по часовой стрелке, если центр масс справа от опоры).

Момент от силы давления на правую опору \( F_{правая} \) (находится на расстоянии \( L - 2x \) от левой опоры): \( M_{F_{правая}} = F_{правая} \cdot (L - 2x) \) (вращает по часовой стрелке).

Уравнение моментов относительно левой опоры:

\( m \cdot g \cdot x = M_{доски} \cdot g \cdot (L/2 - x) + F_{правая} \cdot (L - 2x) \)

Рассмотрим моменты относительно правой опоры:

Момент от массы \( m \) (груз): \( M_{m} = m \cdot g \cdot (L - x) \) (вращает по часовой стрелке, если груз справа от опоры).

Момент от массы доски \( M_{доски} \) (центр масс на \( L/2 \)): \( M_{доски} = M_{доски} \cdot g \cdot (L/2 - (L-x)) = M_{доски} \cdot g \cdot (x - L/2) \) (вращает против часовой стрелки, если центр масс слева от опоры).

Момент от силы давления на левую опору \( F_{левая} \) (находится на расстоянии \( L - 2x \) от правой опоры): \( M_{F_{левая}} = F_{левая} \cdot (L - 2x) \) (вращает против часовой стрелки).

Уравнение моментов относительно правой опоры:

\( m \cdot g \cdot (L - x) = M_{доски} \cdot g \cdot (x - L/2) + F_{левая} \cdot (L - 2x) \)

Из условия задачи: \( F_{левая} = 3 \cdot F_{правая} \).

Также, сумма сил, действующих на доску, равна нулю: \( F_{левая} + F_{правая} = M_{доски} \cdot g + m \cdot g \).

Подставим \( F_{левая} = 3 \cdot F_{правая} \) в это уравнение:

\( 3 \cdot F_{правая} + F_{правая} = (M_{доски} + m) \cdot g \)

\( 4 \cdot F_{правая} = (M_{доски} + m) \cdot g \)

\( F_{правая} = \frac{M_{доски} + m}{4} \cdot g \)

\( F_{левая} = 3 \cdot \frac{M_{доски} + m}{4} \cdot g \)

Теперь подставим эти выражения в уравнение моментов относительно левой опоры (учтем, что \( L/2 - x \) может быть отрицательным, поэтому будем использовать абсолютные значения или правильное направление моментов):

\( m \cdot g \cdot x + M_{доски} \cdot g \cdot (x - L/2) = F_{правая} \cdot (L - 2x) \)

\( m \cdot x + M_{доски} \cdot (x - L/2) = \frac{M_{доски} + m}{4} \cdot (L - 2x) \)

Теперь подставим в уравнение моментов относительно правой опоры:

\( m \cdot g \cdot (L - x) + M_{доски} \cdot g \cdot (L/2 - x) = F_{левая} \cdot (L - 2x) \)

\( m \cdot (L - x) + M_{доски} \cdot (L/2 - x) = 3 \cdot \frac{M_{доски} + m}{4} \cdot (L - 2x) \)

Из рисунка видно, что груз \( m \) находится слева от левой опоры, а центр масс доски \( M_{доски} \) между опорами. Центр масс доски находится на расстоянии \( L/2 \) от края. Пусть левая опора находится на расстоянии \( x_1 \) от края, а правая опора на расстоянии \( x_2 \) от края. Расстояние между опорами \( d \).

Тогда \( L = x_1 + d + x_2 \). По условию \( x_1 = x_2 \). Пусть \( x_1 = x_2 = a \).

Тогда \( L = 2a + d \). Центр масс доски находится на \( L/2 = a + d/2 \) от края.

Момент силы тяжести груза \( m \) относительно левой опоры: \( m \cdot g \cdot a \).

Момент силы тяжести доски \( M_{доски} \) относительно левой опоры: \( M_{доски} \cdot g \cdot (a + d/2 - a) = M_{доски} \cdot g \cdot d/2 \).

Момент силы давления на правую опору \( F_{правая} \) относительно левой опоры: \( F_{правая} \cdot d \).

Уравнение моментов относительно левой опоры: \( m \cdot g \cdot a + M_{доски} \cdot g \cdot d/2 = F_{правая} \cdot d \)

Момент силы тяжести груза \( m \) относительно правой опоры: \( m \cdot g \cdot (a + d) \).

Момент силы тяжести доски \( M_{доски} \) относительно правой опоры: \( M_{доски} \cdot g \cdot (a + d/2 - (a+d)) = M_{доски} \cdot g \cdot (-d/2) \) (направлен против часовой стрелки).

Момент силы давления на левую опору \( F_{левая} \) относительно правой опоры: \( F_{левая} \cdot d \).

Уравнение моментов относительно правой опоры: \( m \cdot g \cdot (a + d) - M_{доски} \cdot g \cdot d/2 = F_{левая} \cdot d \)

Условие: \( F_{левая} = 3 \cdot F_{правая} \).

Из условия равновесия: \( F_{левая} + F_{правая} = M_{доски} \cdot g + m \cdot g \) \( \rightarrow 4 \cdot F_{правая} = (M_{доски} + m) \cdot g \) \( \rightarrow F_{правая} = \frac{M_{доски} + m}{4} \cdot g \).

\( F_{левая} = \frac{3(M_{доски} + m)}{4} \cdot g \).

Подставляем \( F_{правая} \) в уравнение моментов относительно левой опоры:

\( m \cdot g \cdot a + M_{доски} \cdot g \cdot d/2 = \frac{M_{доски} + m}{4} \cdot g \cdot d \)

Делим на \( g \):

\( m \cdot a + M_{доски} \cdot d/2 = \frac{M_{доски} + m}{4} \cdot d \)

\( 4ma + 2M_{доски}d = (M_{доски} + m)d \)

\( 4ma + 2M_{доски}d = M_{доски}d + md \)

\( 4ma - md = M_{доски}d - 2M_{доски}d \)

\( m(4a - d) = -M_{доски}d \)

\( M_{доски}d = m(d - 4a) \)

\( \frac{M_{доски}}{m} = \frac{d - 4a}{d} \) \( = 1 - \frac{4a}{d} \).

Теперь подставим \( F_{левая} \) в уравнение моментов относительно правой опоры:

\( m \cdot g \cdot (a + d) - M_{доски} \cdot g \cdot d/2 = \frac{3(M_{доски} + m)}{4} \cdot g \cdot d \)

Делим на \( g \):

\( m(a + d) - M_{доски}d/2 = \frac{3(M_{доски} + m)}{4} \cdot d \)

\( 4m(a + d) - 2M_{доски}d = 3(M_{доски} + m)d \)

\( 4ma + 4md - 2M_{доски}d = 3M_{доски}d + 3md \)

\( 4ma + md = 5M_{доски}d \)

\( m(4a + d) = 5M_{доски}d \)

\( \frac{M_{доски}}{m} = \frac{4a + d}{5d} = \frac{4a}{5d} + \frac{1}{5} \).

Приравниваем два выражения для \( \frac{M_{доски}}{m} \):

\( 1 - \frac{4a}{d} = \frac{4a}{5d} + \frac{1}{5} \)

\( 1 - \frac{1}{5} = \frac{4a}{5d} + \frac{4a}{d} \)

\( \frac{4}{5} = \frac{4a + 20a}{5d} = \frac{24a}{5d} \)

\( 4 \cdot 5d = 24a \cdot 5 \)

\( 20d = 120a \)

\( d = 6a \).

Теперь найдем отношение \( \frac{M_{доски}}{m} \) используя \( d = 6a \). Подставим во второе выражение:

\( \frac{M_{доски}}{m} = \frac{4a}{5(6a)} + \frac{1}{5} = \frac{4a}{30a} + \frac{1}{5} = \frac{2}{15} + \frac{3}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \).

\( \frac{M_{доски}}{m} = \frac{1}{3} \cdot 0.333... \). Округляем до десятых: 0.3.

Проверим первое выражение: \( \frac{M_{доски}}{m} = 1 - \frac{4a}{d} = 1 - \frac{4a}{6a} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \). Все совпадает.

Ответ: 0.3