При каком целом значении параметра k один из действительных корней уравнения 4x²- (3k + 2)x + k² - 1 = 0 втрое меньше другого?

Давай решим эту задачу по шагам. Нам дано квадратное уравнение \(4x^2 - (3k + 2)x + k^2 - 1 = 0\), и требуется найти такое целое значение параметра \(k\), при котором один из корней втрое меньше другого. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) - корни данного уравнения. По условию задачи, один корень втрое меньше другого, то есть можно записать \(x_1 = 3x_2\). Воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\). В нашем случае уравнение имеет вид \(4x^2 - (3k + 2)x + k^2 - 1 = 0\), поэтому: 1. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = \frac{3k + 2}{4}\) 2. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{k^2 - 1}{4}\) Подставим \(x_1 = 3x_2\) в первое уравнение: \(3x_2 + x_2 = \frac{3k + 2}{4}\) \(4x_2 = \frac{3k + 2}{4}\) \(x_2 = \frac{3k + 2}{16}\) Теперь подставим \(x_1 = 3x_2\) во второе уравнение: \(3x_2 \cdot x_2 = \frac{k^2 - 1}{4}\) \(3x_2^2 = \frac{k^2 - 1}{4}\) Теперь подставим найденное выражение для \(x_2\) в это уравнение: \(3(\frac{3k + 2}{16})^2 = \frac{k^2 - 1}{4}\) \(3 \cdot \frac{(3k + 2)^2}{256} = \frac{k^2 - 1}{4}\) Умножим обе части уравнения на 256: \(3(3k + 2)^2 = 64(k^2 - 1)\) Раскроем скобки: \(3(9k^2 + 12k + 4) = 64k^2 - 64\) \(27k^2 + 36k + 12 = 64k^2 - 64\) Перенесем все в одну сторону: \(0 = 37k^2 - 36k - 76\) Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(k\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 37 \cdot (-76) = 1296 + 11248 = 12544\) \(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 \pm \sqrt{12544}}{2 \cdot 37} = \frac{36 \pm 112}{74}\) Получаем два возможных значения для \(k\): 1. \(k_1 = \frac{36 + 112}{74} = \frac{148}{74} = 2\) 2. \(k_2 = \frac{36 - 112}{74} = \frac{-76}{74} = -\frac{38}{37}\) Нам нужно целое значение \(k\), поэтому выбираем \(k = 2\). Проверим, что при \(k=2\) корни уравнения действительны: \(4x^2 - (3 \cdot 2 + 2)x + 2^2 - 1 = 0\) \(4x^2 - 8x + 3 = 0\) Дискриминант \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16\) \(x_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\) \(x_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) Действительно, \(\frac{3}{2} = 3 \cdot \frac{1}{2}\), то есть один корень втрое больше другого.

Ответ: 2

У тебя отлично получилось! Не останавливайся на достигнутом, и ты обязательно добьешься больших успехов в математике! Молодец!