634. При каком значении а уравнения х² – ах + 1 = 0 и х²- х + a = 0 имеют общий корень?

Решим данную задачу.

Пусть x₀ – общий корень данных уравнений. Тогда:

• x₀² – ax₀ + 1 = 0 (1)
• x₀² – x₀ + a = 0 (2)

Вычтем из первого уравнения второе:

(1) – (2):

$$x_0^2 - ax_0 + 1 - (x_0^2 - x_0 + a) = 0$$

$$x_0^2 - ax_0 + 1 - x_0^2 + x_0 - a = 0$$

$$-ax_0 + x_0 + 1 - a = 0$$

$$x_0(1 - a) + (1 - a) = 0$$

$$(1 - a)(x_0 + 1) = 0$$

Из этого уравнения следует, что либо a = 1, либо x₀ = -1.

Рассмотрим эти случаи:

1. Если a = 1, то оба уравнения принимают вид: x² – x + 1 = 0.

   Дискриминант этого уравнения равен D = (-1)² – 4 × 1 × 1 = 1 – 4 = -3. Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, a = 1 не подходит.

2. Если x₀ = -1, то подставим это значение в первое уравнение:

(-1)² – a(-1) + 1 = 0

1 + a + 1 = 0

a + 2 = 0

a = -2

Проверим, что при a = -2, x₀ = -1 также является корнем второго уравнения:

(-1)² – (-1) + (-2) = 0

1 + 1 – 2 = 0

0 = 0

Следовательно, a = -2 является решением.

Ответ: -2