634. При каком значении а уравнения х² – ах + 1 = 0 и х²- х + a = 0 имеют общий корень?

Обозначим общий корень уравнений через $$x_0$$. Тогда выполняются равенства:

$$x_0^2 - ax_0 + 1 = 0$$ (1)

$$x_0^2 - x_0 + a = 0$$ (2)

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):

$$(x_0^2 - ax_0 + 1) - (x_0^2 - x_0 + a) = 0$$

$$x_0^2 - ax_0 + 1 - x_0^2 + x_0 - a = 0$$

$$(-a+1)x_0 + (1-a) = 0$$

$$(1-a)x_0 + (1-a) = 0$$

$$(1-a)(x_0 + 1) = 0$$

Отсюда либо $$a = 1$$, либо $$x_0 = -1$$.

Рассмотрим случай $$a = 1$$. Тогда оба уравнения принимают вид $$x^2 - x + 1 = 0$$. Дискриминант этого уравнения равен $$D = (-1)^2 - 4 Imes 1 Imes 1 = 1 - 4 = -3$$. Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, случай $$a = 1$$ не подходит.

Рассмотрим случай $$x_0 = -1$$. Подставим $$x_0 = -1$$ в уравнение (1):

$$(-1)^2 - a(-1) + 1 = 0$$

$$1 + a + 1 = 0$$

$$a + 2 = 0$$

$$a = -2$$

Подставим $$x_0 = -1$$ в уравнение (2):

$$(-1)^2 - (-1) + a = 0$$

$$1 + 1 + a = 0$$

$$2 + a = 0$$

$$a = -2$$

Таким образом, при $$a = -2$$ оба уравнения имеют общий корень $$x_0 = -1$$.

Ответ: -2