При каком значении b имеет единственный корень уравнение: 16x² - 80x + b = 0?

Решение:

Квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет единственный корень, когда его дискриминант \( D = 0 \).

В данном уравнении \( 16x^2 - 80x + b = 0 \):

• \( a = 16 \)
• \( b = -80 \)
• \( c = b \) (обратите внимание, что переменная \( b \) в уравнении совпадает с коэффициентом \( c \) в общей формуле)

Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

Приравниваем дискриминант к нулю:

\[ (-80)^2 - 4 \cdot 16 \cdot b = 0 \]\[ 6400 - 64b = 0 \]\[ 6400 = 64b \]\[ b = \frac{6400}{64} \]\[ b = 100 \]

Проверка:

Если \( b = 100 \), уравнение принимает вид \( 16x^2 - 80x + 100 = 0 \).

Разделим на 4 для упрощения: \( 4x^2 - 20x + 25 = 0 \).

Найдем корень по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \) (так как \( D=0 \)):

\[ x = -\frac{-80}{2 \cdot 16} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Альтернативный способ (через полный квадрат):

Уравнение \( 16x^2 - 80x + b = 0 \) можно представить как квадрат двучлена.

Выделим полный квадрат из \( 16x^2 - 80x \):

\[ (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 10 \]Чтобы это было полным квадратом, нужно добавить \( 10^2 = 100 \).

Тогда уравнение будет выглядеть как \( (4x - 10)^2 = 0 \).

Чтобы \( (4x - 10)^2 = 0 \), выражение в скобках должно быть равно нулю: \( 4x - 10 = 0 \).

Это означает, что \( b \) должно быть равно \( 100 \), чтобы уравнение стало \( 16x^2 - 80x + 100 = 0 \), что равносильно \( (4x - 10)^2 = 0 \).

Ответ: b = 100.