При каком значении b значение выражения (\( \frac{2+b}{2b} \))^2 : \( \frac{2^2-b^2}{2b^2} \) равно 2?

Решение:

Данное выражение представляет собой деление двух алгебраических дробей. Чтобы его решить, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

1. Преобразуем вторую дробь, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( \frac{2^2-b^2}{2b^2} = \frac{(2-b)(2+b)}{2b^2} \).
2. Теперь выполним деление: \( \left(\frac{2+b}{2b}\right)^2 : \frac{(2-b)(2+b)}{2b^2} = \frac{(2+b)^2}{(2b)^2} \cdot \frac{2b^2}{(2-b)(2+b)} \).
3. Упростим выражение: \( \frac{(2+b)^2}{4b^2} \cdot \frac{2b^2}{(2-b)(2+b)} \).
4. Сократим общие множители. \( (2+b)^2 \) в числителе и \( (2+b) \) в знаменателе сокращаются. \( 2b^2 \) в числителе и \( 4b^2 \) в знаменателе сокращаются до \( 1 \) и \( 2 \) соответственно.
5. Получаем: \( \frac{2+b}{2(2-b)} \).
6. По условию задачи, значение выражения равно 2. Приравняем полученное выражение к 2: \( \frac{2+b}{2(2-b)} = 2 \).
7. Решим полученное уравнение. Умножим обе части на \( 2(2-b) \), предполагая, что \( b \neq 2 \): \( 2+b = 2 \cdot 2(2-b) \)
8. \( 2+b = 4(2-b) \)
9. \( 2+b = 8 - 4b \)
10. Перенесём \( b \) в одну сторону, а числа в другую: \( b + 4b = 8 - 2 \)
11. \( 5b = 6 \)
12. \( b = \frac{6}{5} \)
13. Проверим, что \( b \neq 2 \) и \( b \neq 0 \) (так как \( b \) находится в знаменателе). \( \frac{6}{5} \neq 2 \) и \( \frac{6}{5} \neq 0 \).

Ответ: b = 1.2.