При каком значении х значения выражений 2 х + 1, x + 2 и 8-х будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Составим уравнение, исходя из условия геометрической прогрессии:\[\frac{x + 2}{2x + 1} = \frac{8 - x}{x + 2}\]
2. Решим уравнение:\[(x + 2)(x + 2) = (2x + 1)(8 - x)\]\[x^2 + 4x + 4 = 16x - 2x^2 + 8 - x\]\[3x^2 - 11x - 4 = 0\]
3. Найдем дискриминант:\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169\]
4. Найдем корни квадратного уравнения:\[x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4\]\[x_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]
5. Проверим значения x:
   • При \( x = 4 \):
     Члены прогрессии: \( 2 \cdot 4 + 1 = 9 \), \( 4 + 2 = 6 \), \( 8 - 4 = 4 \).
     Проверим: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \), \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). Подходит.
   • При \( x = -\frac{1}{3} \):
     Члены прогрессии: \( 2 \cdot (-\frac{1}{3}) + 1 = \frac{1}{3} \), \( -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \), \( 8 - (-\frac{1}{3}) = \frac{25}{3} \).
     Проверим: \( \frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}} = 5 \), \( \frac{\frac{25}{3}}{\frac{5}{3}} = 5 \). Подходит.

Ответ: При \( x = 4 \), члены прогрессии: 9, 6, 4. При \( x = -\frac{1}{3} \), члены прогрессии: \( \frac{1}{3} \), \( \frac{5}{3} \), \( \frac{25}{3} \).