6*. При каком значении х значения выражений 2 x +1, х + 2 и 8-х будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Составим уравнение, используя свойство геометрической прогрессии:

\[(x + 2)^2 = (2x + 1)(8 - x)\]

• Шаг 2: Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[x^2 + 4x + 4 = 16x - 2x^2 + 8 - x\]\[x^2 + 4x + 4 = -2x^2 + 15x + 8\]\[3x^2 - 11x - 4 = 0\]

• Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4\]\[x_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

• Шаг 4: Проверим оба значения x.

Для \( x = 4 \):

\[2x + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9\]\[x + 2 = 4 + 2 = 6\]\[8 - x = 8 - 4 = 4\]

Последовательность: 9, 6, 4. Проверим, является ли она геометрической прогрессией:

\[\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]\[\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Так как отношение соседних членов постоянно, последовательность является геометрической прогрессией.

Для \( x = -\frac{1}{3} \):

\[2x + 1 = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) + 1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}\]\[x + 2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}\]\[8 - x = 8 - (-\frac{1}{3}) = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}\]

Последовательность: 1/3, 5/3, 25/3. Проверим, является ли она геометрической прогрессией:

\[\frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}} = 5\]\[\frac{\frac{25}{3}}{\frac{5}{3}} = 5\]

Так как отношение соседних членов постоянно, последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: При x = 4, члены прогрессии: 9, 6, 4. При x = -1/3, члены прогрессии: 1/3, 5/3, 25/3.