При каком значении k является полным квадратом квадратный трёхчлен 4x² – 12xy + k²y²?

Для того, чтобы трёхчлен был полным квадратом, его можно представить в виде $$(ax + by)^2$$ или $$(ax - by)^2$$. В данном случае у нас есть $$4x^2 - 12xy + k^2y^2$$. Мы можем видеть, что первый член $$(2x)^2$$, а последний член $$(ky)^2$$. Средний член должен быть равен удвоенному произведению первого и последнего членов. Рассмотрим случай $$(2x - ky)^2 = 4x^2 - 4xky + k^2y^2$$. Тогда, чтобы получить $$-12xy$$, должно выполняться условие $$-4k = -12$$, откуда $$k = 3$$. Также рассмотрим случай $$(2x + ky)^2 = 4x^2 + 4xky + k^2y^2$$. Тогда, чтобы получить $$-12xy$$, должно выполняться условие $$4k = -12$$, откуда $$k = -3$$. В данном случае, $$k^2 = (-3)^2 = 9$$. Таким образом, у нас есть два значения $$k$$: 3 и -3, при которых выражение станет полным квадратом: Если $$k = 3$$, то $$4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2$$ Если $$k = -3$$, то $$4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2$$ Ответ: k₁ = 3, k₂ = -3.