При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения х² + 4ах - 7 = 0 является наименьшей?

Ответ: 0

Пошаговое решение:

• Рассмотрим квадратное уравнение вида: \[x^2 + 4ax - 7 = 0\]
• Пусть x₁ и x₂ корни данного уравнения. Наша цель — найти значение параметра a, при котором сумма квадратов корней (x₁² + x₂²) будет наименьшей.
• Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a. В нашем случае:

• Сумма корней: \[x_1 + x_2 = -4a\]
• Произведение корней: \[x_1 \cdot x_2 = -7\]

• Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней:

\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\]

• Подставим известные значения:

\[x_1^2 + x_2^2 = (-4a)^2 - 2(-7)\] \[x_1^2 + x_2^2 = 16a^2 + 14\]

• Теперь нам нужно найти значение a, при котором выражение 16a² + 14 будет минимальным. Это квадратное выражение относительно a, и его минимум достигается в вершине параболы.
• Для параболы вида y = ax² + bx + c, вершина находится в точке x = -b/(2a). В нашем случае, y = 16a² + 14, a = 16, и b = 0 (так как нет члена с просто a).

• Найдем значение a:

\[a = -\frac{0}{2 \cdot 16} = 0\]

• Таким образом, сумма квадратов корней будет наименьшей при a = 0.

Ответ: 0