16. При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения х² + 4ах - 7 = 0 является наименьшей? Ответ:

Ответ: 0

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем теорему Виета для данного квадратного уравнения:

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = -4a \\ x_1 \cdot x_2 = -7 \end{cases}\]

• Шаг 2: Выразим сумму квадратов корней через коэффициенты уравнения, используя теорему Виета:

\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-4a)^2 - 2(-7) = 16a^2 + 14\]

• Шаг 3: Найдем значение параметра a, при котором сумма квадратов корней будет наименьшей.

Сумма квадратов корней является квадратичной функцией относительно a: 16a² + 14. Эта функция достигает своего минимума в вершине параболы. Вершина параболы y = ax² + bx + c находится в точке x = -b/(2a). В нашем случае y = 16a² + 14, где b = 0.

Следовательно, a = -0 / (2*16) = 0.

Таким образом, сумма квадратов корней будет наименьшей при a = 0.

• Шаг 4: Проверка существования корней при найденном значении параметра.

При a = 0, уравнение принимает вид: x² - 7 = 0.

Корни этого уравнения: x₁ = √7 и x₂ = -√7. Оба корня существуют, и их сумма квадратов равна (√7)² + (-√7)² = 7 + 7 = 14.

При любом другом значении параметра a, сумма квадратов корней будет больше 14, так как 16a² всегда будет положительным числом.

Ответ: 0