При каком значении параметра λ циркуляция векторного поля F = (λx + y², x² + λy) по границе треугольника с вершинами О(0,0), А(1, 0), В(0, 1) (обход против ч.с.) равна 1/3

1. Определим контур интегрирования L, состоящий из трех отрезков: OA, AB, BO.

2. Вычислим циркуляцию по каждому отрезку:

• OA: y=0, dy=0, x от 0 до 1. ∫(λx)dx = λ/2.
• AB: y=1-x, dy=-dx, x от 1 до 0. ∫(λx + (1-x)²)dx + (x² + λ(1-x))(-dx) = ∫(λx + 1 - 2x + x² - x² + λx - λ)dx = ∫(2λx - 2x + λ - λ)dx = ∫(2λx - 2x)dx = (λ-1)x² | от 1 до 0 = 1-λ.
• BO: x=0, dx=0, y от 1 до 0. ∫(y²)dy = y³/3 | от 1 до 0 = -1/3.

3. Суммируем циркуляции и приравниваем к 1/3: λ/2 + 1 - λ - 1/3 = 1/3. λ/2 - λ = 1/3 - 1 + 1/3. -λ/2 = -1/3. λ = 2/3.