15. При каком значении параметра в уравнение (b-4)x²+(b-2)x + 2 = 0 имеет один корень? Если корней несколько, в ответ укажите сумму корней.

Ответ: 6 и 4

Пошаговое решение:

Шаг 1: Рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным (b ≠ 4).

Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равен D = b² - 4ac. В нашем случае это будет:

\[D = (b-2)^2 - 4 \cdot (b-4) \cdot 2\] \[D = b^2 - 4b + 4 - 8b + 32\] \[D = b^2 - 12b + 36\] \[D = (b-6)^2\]

Для одного корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:

\[(b-6)^2 = 0\] \[b = 6\] Шаг 2: Проверим, что при b = 6 уравнение не вырождается в линейное:

Если b = 6, уравнение принимает вид:

\[(6-4)x^2 + (6-2)x + 2 = 0\] \[2x^2 + 4x + 2 = 0\]

Это квадратное уравнение.

Шаг 3: Рассмотрим случай, когда уравнение вырождается в линейное (b = 4).

Если b = 4, уравнение принимает вид:

\[(4-4)x^2 + (4-2)x + 2 = 0\] \[0x^2 + 2x + 2 = 0\] \[2x + 2 = 0\] \[x = -1\]

В этом случае уравнение имеет один корень x = -1, что соответствует условию задачи.

Шаг 4: Анализ случаев с несколькими корнями.

Если b = 6 , то уравнение имеет вид:

\[2x^2 + 4x + 2 = 0\]

Разделим на 2:

\[x^2 + 2x + 1 = 0\] \[(x+1)^2 = 0\] \[x = -1\]

Уравнение имеет один корень, x = -1 .

Если b = 4 , то уравнение имеет вид:

\[2x + 2 = 0\] \[x = -1\]

Уравнение имеет один корень, x = -1 .

Шаг 5: Запишем ответ.

При b = 6 уравнение имеет один корень, x = -1 .

При b = 4 уравнение имеет один корень, x = -1 .

Если b = 2, то уравнение принимает вид:

\[(2-4)x^2 + (2-2)x + 2 = 0\] \[-2x^2 + 2 = 0\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

В этом случае уравнение имеет два корня, x = 1 и x = -1, сумма корней равна 0.

Если b = 4 , то уравнение имеет вид:

\[(4-4)x^2 + (4-2)x + 2 = 0\] \[2x + 2 = 0\] \[x = -1\]

Уравнение имеет один корень, x = -1 .

Сумма корней равна 6+4 = 10.

Если корней несколько, то при b=2 сумма корней равна 0.

Ответ: 6 и 4