При каком значении t принимает наибольшее значение дробь \(\frac{5}{(t-4)^2+1}\)?

Знаменатель дроби принимает наименьшее значение, когда квадрат \((t-4)^2\) равен нулю:

\[(t-4)^2=0 \Rightarrow t=4.\]

Тогда знаменатель равен 1, поэтому дробь принимает наибольшее значение \(5\).

Ответ: \(t=4\).