При каком значении x принимает наименьшее значение дробь \(\frac{(x-3)^2+2}{4}\)?

Квадрат любого числа неотрицателен: \((x-3)^2 \ge 0\). Поэтому числитель принимает наименьшее значение, когда \((x-3)^2=0\).

Отсюда \(x-3=0\), значит \(x=3\).

Так как знаменатель равен 4 и положителен, дробь также будет наименьшей при \(x=3\).

Ответ: 3.