При печати сборника задач произошла ошибка, и номера страниц не напечатались. Тогда Боря решил пронумеровать все страницы вручную, начиная со страницы 1. Когда он закончил и перевёл дыхание, он понял, что всего написал 240 цифр. Сколько страниц было в книге Бори?

Для решения задачи необходимо определить, сколько цифр используется для нумерации страниц с однозначными, двузначными и трехзначными числами.

1. Страницы с 1 по 9 имеют однозначные номера. На их нумерацию потребуется 9 цифр.
2. Страницы с 10 по 99 имеют двузначные номера. Количество таких страниц: $$99 - 10 + 1 = 90$$. На их нумерацию потребуется $$90 \times 2 = 180$$ цифр.
3. После нумерации страниц с однозначными и двузначными номерами остается $$240 - 9 - 180 = 51$$ цифра.
4. Эти цифры будут использованы для нумерации страниц с трехзначными номерами. Каждая такая страница требует 3 цифры.
5. Количество страниц с трехзначными номерами: $$51 \div 3 = 17$$ страниц.
6. Первая страница с трехзначным номером 100, следовательно, последняя страница с трехзначным номером: $$100 + 17 - 1 = 116$$.
7. Общее количество страниц в книге: 9 (однозначные) + 90 (двузначные) + 17 (трехзначные) = 116 страниц.

Ответ: 116