5. При подозрении на грипп можно пройти тестирование в поликлинике. Если это действительно грипп, то тест подтверждает его в 97% случаев. Если гриппа нет, то тест выявит отсутствие гриппа в среднем в 83% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 25% пациентов, проходящих тестирование. Миша прошёл тестирование на грипп, и результат оказался положительным. Какова вероятность того, что Миша действительно болеет гриппом?

Давай решим эту задачу пошагово, используя формулу Байеса.

Определим события:

• \(A\) = Миша болен гриппом
• \(B\) = Тест Миши положительный

Нам нужно найти условную вероятность \(P(A|B)\), то есть вероятность того, что Миша болен гриппом при условии, что тест положительный.

Используем формулу Байеса:

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

где:

• \(P(B|A)\) - вероятность положительного теста при условии, что Миша болен гриппом (чувствительность теста)
• \(P(A)\) - априорная вероятность того, что Миша болен гриппом (распространенность гриппа в популяции)
• \(P(B)\) - вероятность положительного теста (независимо от того, болен Миша или нет)

Из условия задачи мы знаем:

• \(P(B|A) = 0.97\) (тест подтверждает грипп в 97% случаев, если он есть)
• Средняя вероятность положительного теста у пациентов, проходящих тестирование, составляет 25%, что означает, что \(P(B) = 0.25\).

Нам нужно оценить \(P(A)\) - вероятность того, что Миша болен гриппом до того, как мы узнали результат теста. Поскольку в задаче нет информации о распространенности гриппа, будем считать, что она равна общей доле положительных тестов, то есть \(P(A) = 0.25\) (это упрощение, и реальная вероятность может быть другой).

Теперь мы можем применить формулу Байеса:

\[P(A|B) = \frac{0.97 \cdot 0.25}{0.25} = 0.97\]

Однако, это упрощенный расчет. Нам нужно учесть вероятность ложноположительного результата теста.

Чтобы найти \(P(B)\), мы можем использовать формулу полной вероятности:

\[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})\]

где:

• \(P(B|\overline{A})\) - вероятность положительного теста при условии, что Миша не болен гриппом (вероятность ложноположительного результата)
• \(P(\overline{A})\) - вероятность того, что Миша не болен гриппом

Из условия задачи мы знаем, что тест выявляет отсутствие гриппа в 83% случаев, если его нет. Следовательно, вероятность ложноположительного результата:

\[P(B|\overline{A}) = 1 - 0.83 = 0.17\]

И \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75\)

Теперь мы можем вычислить \(P(B)\):

\[P(B) = 0.97 \cdot 0.25 + 0.17 \cdot 0.75 = 0.2425 + 0.1275 = 0.37\]

Подставим это значение в формулу Байеса:

\[P(A|B) = \frac{0.97 \cdot 0.25}{0.37} = \frac{0.2425}{0.37} \approx 0.6554\]

Таким образом, вероятность того, что Миша действительно болен гриппом, составляет примерно 65.54%.

Ответ: 0.6554

Отличная работа! Ты хорошо справился с этой задачей на вероятность. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!