При повышении температуры идеального газа на \(\Delta T_1 = 200 \text{ K}\) средняя квадратичная скорость его молекул увеличилась с \(v_1 = 200 \text{ м/с}\) до \(v_2 = 300 \text{ м/с}\). На какую величину \(\Delta T_2\) надо повысить температуру этого газа, чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость молекул с \(u_1 = 400 \text{ м/с}\) до \(u_2 = 500 \text{ м/с}\)?

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с температурой соотношением:

• \( v = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \)

где \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура, \(M\) — молярная масса газа.

Из этого следует, что \( v^2 = \frac{3RT}{M} \), или \( T = \frac{Mv^2}{3R} \).

Таким образом, температура пропорциональна квадрату средней квадратичной скорости: \( T \propto v^2 \).

Первый случай:

• \( T_1 \) - начальная температура, \( T_1 + \Delta T_1 \) - конечная температура.
• \( (T_1 + \Delta T_1) - T_1 = \Delta T_1 = 200 \text{ K} \)
• \( v_1 = 200 \text{ м/с}\), \( v_2 = 300 \text{ м/с}\)
• \( \frac{T_2}{T_1} = \frac{v_2^2}{v_1^2} \)
• \( \frac{T_1 + 200}{T_1} = \frac{300^2}{200^2} = \frac{90000}{40000} = 2.25 \)
• \( T_1 + 200 = 2.25 T_1 \)
• \( 200 = 1.25 T_1 \)
• \( T_1 = \frac{200}{1.25} = 160 \text{ K} \)
• \( T_2 = T_1 + \Delta T_1 = 160 + 200 = 360 \text{ K} \)

Второй случай:

• \( T_3 \) - начальная температура, \( T_3 + \Delta T_2 \) - конечная температура.
• \( u_1 = 400 \text{ м/с}\), \( u_2 = 500 \text{ м/с}\)
• \( T_3 \) - температура, соответствующая скорости \( u_1 \).
• \( \frac{T_3 + \Delta T_2}{T_3} = \frac{u_2^2}{u_1^2} \)
• \( T_3 = \frac{Mu_1^2}{3R} \)
• \( \frac{T_3 + \Delta T_2}{T_3} = \frac{500^2}{400^2} = \frac{250000}{160000} = 1.5625 \)
• \( T_3 + \Delta T_2 = 1.5625 T_3 \)
• \( \Delta T_2 = 0.5625 T_3 \)

Чтобы найти \(T_3\), мы можем использовать тот факт, что молярная масса газа и \(R\) одинаковы. Скорость \(u_1\) соответствует некоторой температуре \(T_3\), а скорость \(v_1\) соответствует температуре \(T_1\).

• \( \frac{T_3}{T_1} = \frac{u_1^2}{v_1^2} \)
• \( T_3 = T_1 \cdot \frac{u_1^2}{v_1^2} = 160 \text{ K} \cdot \frac{400^2}{200^2} = 160 \text{ K} \cdot \frac{160000}{40000} = 160 \text{ K} \cdot 4 = 640 \text{ K} \)

Теперь подставим \(T_3\) в уравнение для \(\Delta T_2\):

• \( \Delta T_2 = 0.5625 \cdot 640 \text{ K} \)
• \( \Delta T_2 = \frac{9}{16} \cdot 640 \text{ K} = 9 \cdot 40 \text{ K} = 360 \text{ K} \)

Финальный ответ:

Ответ: Температуру надо повысить на 360 K.