При решении системы уравнений методом Крамера определитель \(\Delta\) равен ...

Решение:

Нам дана система линейных уравнений:

\[
\begin{cases}
x_2 - 3x_3 + 4x_4 = -5 \\
x_1 - 2x_3 + 3x_4 = -4 \\
3x_1 + 2x_2 - 5x_4 = 12 \\
4x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 5
\end{cases}
\]

Чтобы применить метод Крамера, нужно сначала найти определитель \(\Delta\) системы. Определитель \(\Delta\) составляется из коэффициентов при переменных \(x_1, x_2, x_3, x_4\) в том порядке, в котором они появляются в уравнениях, если все уравнения приведены к виду \(ax_1 + bx_2 + cx_3 + dx_4 = e\).

Приведём систему к стандартному виду:

\[
\begin{cases}
0x_1 + 1x_2 - 3x_3 + 4x_4 = -5 \\
1x_1 + 0x_2 - 2x_3 + 3x_4 = -4 \\
3x_1 + 2x_2 + 0x_3 - 5x_4 = 12 \\
4x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 0x_4 = 5
\end{cases}
\]

Определитель \(\Delta\) системы равен определителю матрицы коэффициентов:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
0 & 1 & -3 & 4 \\
1 & 0 & -2 & 3 \\
3 & 2 & 0 & -5 \\
4 & 3 & -5 & 0
\end{vmatrix}
\]

Вычислим этот определитель. Используем разложение по первой строке:

\[
\Delta = 0 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + (-3) \cdot C_{13} + 4 \cdot C_{14}
\]

где \(C_{ij}\) — алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\).

\[
C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}
0 & -2 & 3 \\
2 & 0 & -5 \\
3 & -5 & 0
\end{vmatrix} = 1 \cdot (0(0 - 25) - (-2)(0 - (-15)) + 3(-10 - 0)) = 1 \cdot (0 - 2(15) - 30) = -30 - 30 = -60
\]

\[
C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3 \\
3 & 0 & -5 \\
4 & -5 & 0
\end{vmatrix} = -1 \cdot (1(0 - 25) - (-2)(0 - (-20)) + 3(-15 - 0)) = -1 \cdot (-25 - 2(20) - 45) = -1 \cdot (-25 - 40 - 45) = -1 \cdot (-110) = 110
\]

\[
C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 \\
3 & 2 & -5 \\
4 & 3 & 0
\end{vmatrix} = 1 \cdot (1(0 - (-15)) - 0 + 3(9 - 8)) = 1 \cdot (15 + 3(1)) = 15 + 3 = 18
\]

\[
C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 \\
3 & 2 & 0 \\
4 & 3 & -5
\end{vmatrix} = -1 \cdot (1(-10 - 0) - 0 + (-2)(-9)) = -1 \cdot (-10 + 18) = -1 \cdot 8 = -8
\]

Теперь подставим значения алгебраических дополнений в формулу определителя \(\Delta\):

\[
\Delta = 0 \cdot (-60) + 1 \cdot 110 + (-3) \cdot 18 + 4 \cdot (-8)
\]

\[
\Delta = 0 + 110 - 54 - 32
\]

\[
\Delta = 110 - 86
\]

\[
\Delta = 24
\]

Ответ: Определитель \(\Delta\) равен 24.