При решении заданий 1-4 запишите правильный ответ из четырех предложенных. 1. (1 балл) Расшифруйте краткую запись: аπβ. А) точка а принадлежит плоскости В; Б) точка а принадлежит прямой в; В) прямая а принадлежит плоскости в; Г) прямая а пересекает плоскость В. 2. (1 балл) Прямые МП и КР скрещиваются. Какое расположение имеют прямые МК и NP? А) параллельные; Б) перпендикулярные; В) скрещиваются; Г) пересекаются. 3. (1 балл) Какие из векторов а(1,2,-3), с(3,6,-6), b(2,4,-6) коллинеарные? А) а ис; Б) си в; В) а и b; Г) коллинеарных векторов нет. 4. (1 балл) Даны точки А(2,0,5), В(2,4,-1) C(-2,6,3). Серединой какого отрезка является точка М(0,5,1)? А) АВ; Б) ВС; В) АС; Г) СВ. При выполнении заданий 5-10 запишите ход решения и полученный ответ. 5. (2 балла) Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если АА₁=3,4см, ВВ₁=6,6см. 6. (2 балла) Прямые АС, АВ и АД попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СД, если АВ=9 см, ВС=15 см, АД=5 см. 7. (2 балла) (2 балла) Даны векторы а(-2,4,0), b(3,5,-1). Найдите скалярное произведение этих векторов. 8. (2 балла) Начертить куб АВСДА,В,С,ДІ. Построить точку NEAB, точку РЕДДС, отрезок КМЕА1В1С1. 9. (2 балла) При каких значениях и векторы "а (8,n,4), "b (1,0,п) перпендикулярны? 10. (2 балла) Дан параллелепипед АВСДА, В1С1Д1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей черезребро АД и точку пересечения диагоналей грани ВВ1С1С.

1. Расшифровка записи.

Расшифруем краткую запись аπβ.

π - это обозначение плоскости.

аπβ означает, что прямая а принадлежит плоскости β.

Следовательно, правильный ответ: В) прямая а принадлежит плоскости β.

2. Расположение прямых МК и NP.

Дано, что прямые MN и KP скрещиваются. Это означает, что они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Чтобы определить расположение прямых MK и NP, нужно рассмотреть пространственную фигуру, образованную точками M, N, P, K. Так как MN и KP скрещиваются, то четырехугольник MNPK не является плоским.

В общем случае, прямые MK и NP также будут скрещивающимися. Однако, возможны частные случаи, когда они могут быть параллельными или пересекаться. Без дополнительной информации точно определить их расположение невозможно.

Наиболее вероятный ответ: В) скрещиваются.

3. Коллинеарные векторы.

Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что их координаты пропорциональны.

Проверим векторы а(1,2,-3) и с(3,6,-6):

$$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{-3}{-6}$$

Пропорция не выполняется, так как \(\frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}\). Следовательно, векторы a и c не коллинеарны.

Проверим векторы с(3,6,-6) и b(2,4,-6):

$$\frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{-6}{-6}$$

Пропорция не выполняется, так как \(\frac{-6}{-6} = 1\). Следовательно, векторы c и b не коллинеарны.

Проверим векторы а(1,2,-3) и b(2,4,-6):

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$$

Пропорция выполняется, следовательно, векторы a и b коллинеарны.

Правильный ответ: В) a и b.

4. Середина отрезка.

Проверим, является ли точка M(0,5,1) серединой отрезка AB:

Координаты середины отрезка AB вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка:

$$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2$$ $$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$$ $$z_M = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = 2$$

Получаем, что середина отрезка AB имеет координаты (2, 2, 2). Следовательно, точка M не является серединой отрезка AB.

Проверим, является ли точка M(0,5,1) серединой отрезка BC:

$$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$$ $$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$ $$z_M = \frac{z_B + z_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Получаем, что середина отрезка BC имеет координаты (0, 5, 1). Следовательно, точка M является серединой отрезка BC.

Правильный ответ: Б) BC.

5. Длина отрезка MM1.

Пусть A, B - концы отрезка, M - середина отрезка AB. A₁, B₁, M₁ - проекции этих точек на некоторую плоскость.

Так как отрезок AB не пересекает плоскость, то точки A, B, M расположены по одну сторону от плоскости.

Поскольку M - середина AB, то \(AM = MB\).

Из условия AA₁ = 3,4 см, BB₁ = 6,6 см.

MM₁ - средняя линия трапеции AA₁BB₁.

Тогда длина отрезка MM₁ равна полусумме длин оснований AA₁ и BB₁:

$$MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2} = \frac{3.4 + 6.6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$

Ответ: 5 см.

6. Отрезок CD.

Так как AC, AB и AD попарно перпендикулярны, то можно рассматривать треугольник ACD как прямоугольный в трехмерном пространстве. Тогда, по теореме Пифагора:

$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$

Нужно найти AC. Так как AB и BC перпендикулярны, то треугольник ABC - прямоугольный:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$$ $$CD^2 = 306 + 5^2 = 306 + 25 = 331$$ $$CD = \sqrt{331} \approx 18.2 \text{ см}$$

Ответ: \(\sqrt{331}\) см ≈ 18.2 см.

7. Скалярное произведение.

Даны векторы a(-2,4,0) и b(3,5,-1). Скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле:

$$a \cdot b = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$

Подставляем значения:

$$a \cdot b = (-2) \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 0 \cdot (-1) = -6 + 20 + 0 = 14$$

Ответ: 14.

8. Построение в кубе.

Описание построения:

1. Строим куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

2. Находим точку N, принадлежащую плоскости ABEAB:

* Находим середину ребра AB. Это и есть точка N.

3. Находим точку P, принадлежащую плоскости EDD₁C₁:

* Находим середину ребра DD₁. Это и есть точка P.

4. Строим отрезок KM, где K принадлежит A₁B₁C₁.

9. Перпендикулярность векторов.

Векторы a(8,n,4) и b(1,0,n) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

$$a \cdot b = 8 \cdot 1 + n \cdot 0 + 4 \cdot n = 0$$ $$8 + 0 + 4n = 0$$ $$4n = -8$$ $$n = -2$$

Ответ: n = -2.

10. Сечение параллелепипеда.

Описание построения сечения:

1. Строим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

2. Строим ребро AD.

3. Находим точку пересечения диагоналей грани BB₁C₁C. Обозначим эту точку O.

4. Проводим плоскость через ребро AD и точку O.

5. Плоскость ADO пересекает грань AA₁D₁D по прямой AD₁.

6. Плоскость ADO пересекает грань BB₁C₁C по прямой, проходящей через точку O и параллельной AD, то есть по прямой, соединяющей O с серединой ребра A₁D₁.

7. Полученное сечение - трапеция ADD₁A₁.