При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? Ответ запишите по образцу: 2:5 (без пробелов)

Решение:

Эта задача решается с помощью метода смешивания (или пропорционального деления). Пусть \( x \) — масса первого раствора (20%), а \( y \) — масса второго раствора (50%).

1. Составим уравнение по содержанию кислоты:
• Кислота из первого раствора: \( 0.20x \)
• Кислота из второго раствора: \( 0.50y \)
• Кислота в итоговом растворе: \( 0.30(x+y) \)

Сумма кислот из исходных растворов равна кислоте в итоговом растворе:

\[ 0.20x + 0.50y = 0.30(x+y) \]

2. Решим уравнение:

\[ 0.20x + 0.50y = 0.30x + 0.30y \]

\[ 0.50y - 0.30y = 0.30x - 0.20x \]

\[ 0.20y = 0.10x \]

3. Найдем отношение \( x:y \):

Разделим обе части уравнения на \( 0.10y \) (предполагая, что \( y \neq 0 \)):

\[ \frac{0.20y}{0.10y} = \frac{0.10x}{0.10y} \]

\[ 2 = \frac{x}{y} \]

Это означает, что \( \frac{x}{y} = \frac{2}{1} \). Отношение первого раствора ко второму равно \( 2:1 \).

4. Альтернативный метод (Правило смешивания):

Разница между концентрацией итогового раствора и концентрацией каждого из исходных растворов:

• Первый раствор: \( |30% - 20%| = 10% \)
• Второй раствор: \( |30% - 50%| = 20% \)

Отношение масс растворов обратно пропорционально этим разницам:

\[ \text{отношение первого раствора} : \text{отношение второго раствора} = 20 : 10 \]

Сокращая, получаем отношение \( 2:1 \).

Ответ: 2:1