При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним. Доказательство. Для m > 1 и n > 1 имеем: a^m · a^n = (a · a · ... · a) · (a · a · ... · a) = (a · a · ... · a) = a^(m+n) m раз n раз m+n раз a^(□). Проверь себя! 3^2 · 3^3 · 3^5 = 3^(□) · 3^5 = 3^(5+□) = 3^□. 2^2 · 2^3 · 2^□ = 2^□

Решение:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним.

Доказательство:

Для \( m > 1 \) и \( n > 1 \) имеем:

\[ a^m \cdot a^n = \underbrace{(a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{m \text{ раз}} \cdot \underbrace{(a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{m+n \text{ раз}} = a^{m+n} \]

Проверь себя!

1. \( 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^5 = 3^{(2+3)} \cdot 3^5 = 3^{(5+5)} = 3^{10} \)
2. \( 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^5 = 2^{(2+3)} \cdot 2^5 = 2^{(5+5)} = 2^{10} \)

Ответ: 3¹⁰.