При увеличении массы одного из двух притягивающихся тел в 6 раз и увеличении массы второго тела в 1,5 раза сила взаимодействия тел увеличилась в 81 раз. Во сколько раз уменьшили расстояния между телами?

Решение:

Закон всемирного тяготения описывается формулой:

• \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

Где:

• $$F$$ — сила гравитационного взаимодействия
• $$G$$ — гравитационная постоянная
• $$m_1$$ и $$m_2$$ — массы тел
• $$r$$ — расстояние между телами

В исходном состоянии сила взаимодействия равна $$F_1$$, массы тел $$m_{1}$$ и $$m_{2}$$, а расстояние $$r_1$$.

• \[ F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r_1^2} \]

После изменения масс и расстояния, сила взаимодействия стала $$F_2$$. Массы стали $$m_{1}' = 6m_1$$ и $$m_{2}' = 1.5m_2$$. Сила $$F_2 = 81F_1$$. Расстояние стало $$r_2$$.

• \[ F_2 = G \frac{m_1' m_2'}{r_2^2} \]
• \[ 81 F_1 = G \frac{(6m_1)(1.5m_2)}{r_2^2} \]
• \[ 81 F_1 = G \frac{9 m_1 m_2}{r_2^2} \]

Теперь подставим выражение для $$F_1$$:

• \[ 81 \left( G \frac{m_1 m_2}{r_1^2} \right) = G \frac{9 m_1 m_2}{r_2^2} \]

Сократим одинаковые множители ($$G$$, $$m_1$$, $$m_2$$):

• \[ \frac{81}{r_1^2} = \frac{9}{r_2^2} \]

Выразим отношение квадратов расстояний:

• \[ \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{9}{81} \]
• \[ \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 = \frac{1}{9} \]

Найдем отношение расстояний $$r_2/r_1$$. Так как расстояние не может быть отрицательным, берем положительный корень:

• \[ \frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{1}{9}} \]
• \[ \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{3} \]

Это означает, что новое расстояние $$r_2$$ в 3 раза меньше исходного $$r_1$$. Вопрос стоит: "Во сколько раз уменьшили расстояния между телами?". Уменьшили в 3 раза.

Ответ: Расстояния между телами уменьшили в 3 раза.