При выпечке булочек с изюмом случается (с вероятностью 0,003), что в булочку не попадает ни одной изюминки. Найти вероятность того, что среди 1000 испеченных булочек: а) в одну булочку не попадет ни одной изюминки; б) количество булочек без изюминки будет не более 5. Построить ряд распределения и многоугольник распределения. Проверить свои вычисления и построение, выполнив задачу в Еxcel.

а) Вероятность, что в одну булочку не попадет ни одной изюминки:

Вероятность того, что в одну булочку не попадет ни одной изюминки, уже дана в условии: 0,003.

Ответ: 0,003

б) Вероятность, что количество булочек без изюминки будет не более 5:

Смотри, тут всё просто: используем распределение Пуассона.

Шаг 1: Определим параметр λ (лямбда) для распределения Пуассона.

λ = n * p, где:

• n - количество булочек (1000)
• p - вероятность отсутствия изюминки в одной булочке (0,003)

λ = 1000 * 0,003 = 3

Шаг 2: Используем формулу Пуассона для вероятности P(X = k):

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \]

где:

• e - основание натурального логарифма (примерно 2,71828)
• k - количество булочек без изюминки
• k! - факториал k

Шаг 3: Находим вероятность того, что количество булочек без изюминки будет не более 5, то есть P(X ≤ 5):

\[ P(X \le 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]

Шаг 4: Рассчитываем каждое слагаемое:

• P(X = 0) = (e^(-3) * 3^0) / 0! ≈ 0,0498
• P(X = 1) = (e^(-3) * 3^1) / 1! ≈ 0,1494
• P(X = 2) = (e^(-3) * 3^2) / 2! ≈ 0,2240
• P(X = 3) = (e^(-3) * 3^3) / 3! ≈ 0,2240
• P(X = 4) = (e^(-3) * 3^4) / 4! ≈ 0,1680
• P(X = 5) = (e^(-3) * 3^5) / 5! ≈ 0,1008

Шаг 5: Складываем полученные вероятности:

\[ P(X \le 5) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2240 + 0.2240 + 0.1680 + 0.1008 = 0.916 \]

Ответ: P(X ≤ 5) ≈ 0.916

Построение ряда распределения и многоугольника распределения:

Ряд распределения - это таблица, показывающая вероятности для каждого возможного значения количества булочек без изюминки (X).

Построим ряд распределения для X от 0 до 10 (чтобы включить наиболее вероятные значения):

Теперь давай отобразим этот ряд распределения в виде многоугольника (полигона) распределения.