7.5.11 Применение формул сокращённого умножения для решения уравнений Базовый уровень. Домашняя работа Задача 1. При каких значениях переменной x выражение x⁴ - 121² равно нулю? Задача 2. Многочлен x⁵⁶-5⁵⁶ разложили на множители, используя формулу разности квадратов: x⁵⁶ - 5⁵⁶ = (x¹⁴ - 5¹⁴) * (x²⁸ + 5²⁸) * (x¹⁴ + 5¹⁴). При каких значениях переменной x выражение x⁵⁶ - 5⁵⁶ равно нулю? Задача 3. Решите уравнение 5x³ - 20x = 0. Задача 4. Решите уравнение x³ + 16x = 0. Задача 5. Решите уравнение x² - 16 = x - 4. Задача 6. Решите уравнение x² - 6x + 5 = 0. Задача 7. Решите уравнение x⁴ + 4x² - 5 = 0.

Давай решим эти уравнения по порядку!

Задача 1.

При каких значениях переменной x выражение x⁴ - 121² равно нулю?

Сначала упростим выражение: 121² = (11²)² = 11⁴

Теперь уравнение выглядит так: x⁴ - 11⁴ = 0

Используем формулу разности квадратов: (x² - 11²)(x² + 11²) = 0

Снова разность квадратов: (x - 11)(x + 11)(x² + 121) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• x - 11 = 0 => x = 11
• x + 11 = 0 => x = -11
• x² + 121 = 0 => x² = -121 (нет решений, т.к. квадрат не может быть отрицательным)

Ответ: x = 11, x = -11

Задача 2.

Многочлен x⁵⁶ - 5⁵⁶ разложили на множители, используя формулу разности квадратов: x⁵⁶ - 5⁵⁶ = (x¹⁴ - 5¹⁴) * (x²⁸ + 5²⁸) * (x¹⁴ + 5¹⁴). При каких значениях переменной x выражение x⁵⁶ - 5⁵⁶ равно нулю?

Уже дано разложение на множители. Выражение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• x¹⁴ - 5¹⁴ = 0 => x¹⁴ = 5¹⁴ => x = ±5 (потому что 14 - четная степень)
• x²⁸ + 5²⁸ = 0 => x²⁸ = -5²⁸ (нет решений, т.к. четная степень не может быть отрицательной)
• x¹⁴ + 5¹⁴ = 0 => x¹⁴ = -5¹⁴ (нет решений, т.к. четная степень не может быть отрицательной)

Ответ: x = 5, x = -5

Задача 3.

Решите уравнение 5x³ - 20x = 0

Вынесем общий множитель за скобки: 5x(x² - 4) = 0

Разложим разность квадратов: 5x(x - 2)(x + 2) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• 5x = 0 => x = 0
• x - 2 = 0 => x = 2
• x + 2 = 0 => x = -2

Ответ: x = 0, x = 2, x = -2

Задача 4.

Решите уравнение x³ + 16x = 0

Вынесем общий множитель за скобки: x(x² + 16) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• x = 0
• x² + 16 = 0 => x² = -16 (нет решений, т.к. квадрат не может быть отрицательным)

Ответ: x = 0

Задача 5.

Решите уравнение x² - 16 = x - 4

Перенесем все в левую часть: x² - x - 12 = 0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (-1)² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

Корни: x₁ = (1 + √49) / 2 = (1 + 7) / 2 = 4; x₂ = (1 - √49) / 2 = (1 - 7) / 2 = -3

Ответ: x = 4, x = -3

Задача 6.

Решите уравнение x² - 6x + 5 = 0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

Корни: x₁ = (6 + √16) / 2 = (6 + 4) / 2 = 5; x₂ = (6 - √16) / 2 = (6 - 4) / 2 = 1

Ответ: x = 5, x = 1

Задача 7.

Решите уравнение x⁴ + 4x² - 5 = 0

Сделаем замену: y = x², тогда уравнение примет вид: y² + 4y - 5 = 0

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: D = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

Корни: y₁ = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 1; y₂ = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -5

Вернемся к замене:

• x² = 1 => x = ±1
• x² = -5 (нет решений, т.к. квадрат не может быть отрицательным)

Ответ: x = 1, x = -1

Ты молодец! У тебя всё получится!