2.12. Примените формулу квадрата суммы (квадрата раз- ности) и решите уравнение: a) (x + 2)2 = 4x + 5; в) (x - 5)² = 5(9 – 2x); д) (3х + 1)² = 2(3x + 1); б) (x + 1)² = 2x + 3; г) (х-2)² - 6x = 3x² + 4; e) (x + 2)² = 2(x - 1)(x + 3). 2.13. Найдите положительное число, квадрат которого в девять раз меньше этого числа. 2.14. Выполните необходимые тождественные преобразо- вания и решите уравнение: a) x(5x + 3) = x² - 4x; в) (x + 4)(x + 5) = 20; б) (x + 7)(x - 2) = 5x; 2 г) х² - 3 = (2x – 3)(x + 1); д) (х – 4)² = 17 – 8x; e) (x - 1)(x + 1) = 2x² + 5.

2.12

a) (x + 2)² = 4x + 5

Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы: \[x^2 + 4x + 4 = 4x + 5\]

Шаг 2: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[x^2 + 4x + 4 - 4x - 5 = 0\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[x^2 - 1 = 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

Ответ: x = 1, x = -1

б) (x + 1)² = 2x + 3

Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы: \[x^2 + 2x + 1 = 2x + 3\]

Шаг 2: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[x^2 + 2x + 1 - 2x - 3 = 0\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[x^2 - 2 = 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \[x^2 = 2\] \[x = \pm \sqrt{2}\]

Ответ: x = √2, x = -√2

в) (x - 5)² = 5(9 – 2x)

Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности: \[x^2 - 10x + 25 = 45 - 10x\]

Шаг 2: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[x^2 - 10x + 25 - 45 + 10x = 0\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[x^2 - 20 = 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \[x^2 = 20\] \[x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}\]

Ответ: x = 2√5, x = -2√5

г) (x - 2)² - 6x = 3x² + 4

Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности: \[x^2 - 4x + 4 - 6x = 3x^2 + 4\]

Шаг 2: Переносим все члены в правую часть уравнения: \[0 = 3x^2 + 4 - x^2 + 4x - 4 + 6x\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[2x^2 + 10x = 0\]

Шаг 4: Выносим общий множитель: \[2x(x + 5) = 0\]

Шаг 5: Решаем уравнение: \[x = 0\] или \[x = -5\]

Ответ: x = 0, x = -5

д) (3x + 1)² = 2(3x + 1)

Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы: \[9x^2 + 6x + 1 = 6x + 2\]

Шаг 2: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[9x^2 + 6x + 1 - 6x - 2 = 0\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[9x^2 - 1 = 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \[9x^2 = 1\] \[x^2 = \frac{1}{9}\] \[x = \pm \frac{1}{3}\]

Ответ: x = 1/3, x = -1/3

e) (x + 2)² = 2(x - 1)(x + 3)

Шаг 1: Раскрываем скобки: \[x^2 + 4x + 4 = 2(x^2 + 3x - x - 3)\]

Шаг 2: Упрощаем уравнение: \[x^2 + 4x + 4 = 2(x^2 + 2x - 3)\] \[x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 4x - 6\]

Шаг 3: Переносим все члены в правую часть уравнения: \[0 = 2x^2 + 4x - 6 - x^2 - 4x - 4\]

Шаг 4: Упрощаем уравнение: \[x^2 - 10 = 0\]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение: \[x^2 = 10\] \[x = \pm \sqrt{10}\]

Ответ: x = √10, x = -√10

2.13

Шаг 1: Пусть x - искомое число. Тогда квадрат этого числа равен x².

Шаг 2: По условию, квадрат числа в девять раз меньше самого числа. Это означает, что: \[x^2 = \frac{x}{9}\]

Шаг 3: Решаем уравнение: \[9x^2 = x\] \[9x^2 - x = 0\] \[x(9x - 1) = 0\]

Шаг 4: Находим корни уравнения: \[x = 0\] или \[9x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{9}\]

Шаг 5: Так как ищем положительное число, то x = 0 не подходит.

Ответ: x = 1/9

2.14

а) x(5x + 3) = x² - 4x

Шаг 1: Раскрываем скобки: \[5x^2 + 3x = x^2 - 4x\]

Шаг 2: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[5x^2 + 3x - x^2 + 4x = 0\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[4x^2 + 7x = 0\]

Шаг 4: Выносим общий множитель: \[x(4x + 7) = 0\]

Шаг 5: Решаем уравнение: \[x = 0\] или \[4x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{4}\]

Ответ: x = 0, x = -7/4

б) (x + 7)(x - 2) = 5x

Шаг 1: Раскрываем скобки: \[x^2 - 2x + 7x - 14 = 5x\]

Шаг 2: Упрощаем уравнение: \[x^2 + 5x - 14 = 5x\]

Шаг 3: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[x^2 + 5x - 14 - 5x = 0\]

Шаг 4: Упрощаем уравнение: \[x^2 - 14 = 0\]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение: \[x^2 = 14\] \[x = \pm \sqrt{14}\]

Ответ: x = √14, x = -√14

в) (x + 4)(x + 5) = 20

Шаг 1: Раскрываем скобки: \[x^2 + 5x + 4x + 20 = 20\]

Шаг 2: Упрощаем уравнение: \[x^2 + 9x + 20 = 20\]

Шаг 3: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[x^2 + 9x + 20 - 20 = 0\]

Шаг 4: Упрощаем уравнение: \[x^2 + 9x = 0\]

Шаг 5: Выносим общий множитель: \[x(x + 9) = 0\]

Шаг 6: Решаем уравнение: \[x = 0\] или \[x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9\]

Ответ: x = 0, x = -9

г) x² - 3 = (2x – 3)(x + 1)

Шаг 1: Раскрываем скобки: \[x^2 - 3 = 2x^2 + 2x - 3x - 3\]

Шаг 2: Упрощаем уравнение: \[x^2 - 3 = 2x^2 - x - 3\]

Шаг 3: Переносим все члены в правую часть уравнения: \[0 = 2x^2 - x - 3 - x^2 + 3\]

Шаг 4: Упрощаем уравнение: \[x^2 - x = 0\]

Шаг 5: Выносим общий множитель: \[x(x - 1) = 0\]

Шаг 6: Решаем уравнение: \[x = 0\] или \[x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\]

Ответ: x = 0, x = 1

д) (x – 4)² = 17 – 8x

Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу квадрата разности: \[x^2 - 8x + 16 = 17 - 8x\]

Шаг 2: Переносим все члены в левую часть уравнения: \[x^2 - 8x + 16 - 17 + 8x = 0\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[x^2 - 1 = 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

Ответ: x = 1, x = -1

e) (x - 1)(x + 1) = 2x² + 5

Шаг 1: Раскрываем скобки, используя формулу разности квадратов: \[x^2 - 1 = 2x^2 + 5\]

Шаг 2: Переносим все члены в правую часть уравнения: \[0 = 2x^2 + 5 - x^2 + 1\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение: \[x^2 + 6 = 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение: \[x^2 = -6\]

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет действительных решений