Примените формулы разности квадратов и квадрат суммы, и решите квадратное уравнение: a) \((x-2)^2 - x(x+5) = 6\) b) \((-3-x)^2 - x(7+x) = 5\) c) \(x(9-x) + (3-x)^2 = 12\)

Решение:

а) \((x-2)^2 - x(x+5) = 6\)

1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) и распределительное свойство умножения \(a(b+c) = ab + ac\):

\( (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - (x \cdot x + x \cdot 5) = 6 \)
\( (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 5x) = 6 \)
2. Упростим выражение:

\( x^2 - 4x + 4 - x^2 - 5x = 6 \)
3. Приведем подобные слагаемые:

\( (x^2 - x^2) + (-4x - 5x) + 4 = 6 \)
\( -9x + 4 = 6 \)
4. Решим линейное уравнение:

\( -9x = 6 - 4 \)
\( -9x = 2 \)
\( x = \frac{2}{-9} = -\frac{2}{9} \)

б) \((-3-x)^2 - x(7+x) = 5\)

1. Преобразуем выражение в скобках: \( (-3-x)^2 = (-(3+x))^2 = (3+x)^2 \). Теперь используем формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и распределительное свойство:

\( (3^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) - (x \cdot 7 + x \cdot x) = 5 \)
\( (9 + 6x + x^2) - (7x + x^2) = 5 \)
2. Упростим выражение:

\( 9 + 6x + x^2 - 7x - x^2 = 5 \)
3. Приведем подобные слагаемые:

\( (x^2 - x^2) + (6x - 7x) + 9 = 5 \)
\( -x + 9 = 5 \)
4. Решим линейное уравнение:

\( -x = 5 - 9 \)
\( -x = -4 \)
\( x = 4 \)

в) \(x(9-x) + (3-x)^2 = 12\)

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство и формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):

\( (x \cdot 9 - x \cdot x) + (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) = 12 \)
\( (9x - x^2) + (9 - 6x + x^2) = 12 \)
2. Упростим выражение:

\( 9x - x^2 + 9 - 6x + x^2 = 12 \)
3. Приведем подобные слагаемые:

\( (-x^2 + x^2) + (9x - 6x) + 9 = 12 \)
\( 3x + 9 = 12 \)
4. Решим линейное уравнение:

\( 3x = 12 - 9 \)
\( 3x = 3 \)
\( x = \frac{3}{3} = 1 \)

Ответ: а) \( x = -\frac{2}{9} \); б) \( x = 4 \); в) \( x = 1 \).