Применив радикальный признак Коши (L = lim (n→∞) √[n]{an}) к ряду ∑ (2n²+2n+3 / 5n²+2n+1)^n, n=1 to ∞, получаем:

Анализ ряда с помощью радикального признака Коши

Радикальный признак Коши гласит, что если для ряда \( \sum a_n \) существует предел \( L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \), то:

• Если \( L < 1 \), ряд сходится абсолютно.
• Если \( L > 1 \), ряд расходится.
• Если \( L = 1 \), признак не дает ответа.

В нашем случае, общий член ряда имеет вид:

\[ a_n = \left( \frac{2n^2 + 2n + 3}{5n^2 + 2n + 1} \right)^n \]

Найдем предел \( L \) по радикальному признаку Коши:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2n^2 + 2n + 3}{5n^2 + 2n + 1} \right)^n} \]

Степень \( n \) и корень \( n \)-ой степени взаимно уничтожаются:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 2n + 3}{5n^2 + 2n + 1} \]

Чтобы найти этот предел, разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( n \), то есть на \( n^2 \):

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{3}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2}}{5 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} \]

При \( n \to \infty \) члены вида \( \frac{k}{n} \) и \( \frac{k}{n^2} \) стремятся к нулю:

\[ L = \frac{2 + 0 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac{2}{5} \]

Мы получили \( L = \frac{2}{5} \).

Сравниваем \( L \) с 1:

\[ L = \frac{2}{5} < 1 \]

Так как \( L < 1 \), то по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Ответ: c. L = 2/5, ряд сходится