Пример №1 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 4 + 5x - 2x² - \frac{1}{3}x³.

Решение:

Давай разберем по порядку. Нам дана функция f(x) = 4 + 5x - 2x² - \frac{1}{3}x³. Наша задача - найти промежутки возрастания и убывания этой функции, а также её наибольшее и наименьшее значения.

1. Находим производную функции:

Сначала найдем производную f'(x), чтобы определить, где функция возрастает или убывает:

\[f'(x) = 5 - 4x - x^2\]

2. Находим критические точки:

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[5 - 4x - x^2 = 0\] \[x^2 + 4x - 5 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Его можно решить, например, с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\]

Итак, критические точки: x₁ = 1 и x₂ = -5.

3. Определяем знаки производной на интервалах:

Разбиваем числовую прямую на интервалы критическими точками: (-∞, -5), (-5, 1), (1, +∞). Определим знак производной на каждом интервале:

• На интервале (-∞, -5) возьмем x = -6:
\[f'(-6) = 5 - 4(-6) - (-6)^2 = 5 + 24 - 36 = -7 < 0\]

Функция убывает.

• На интервале (-5, 1) возьмем x = 0:
\[f'(0) = 5 - 4(0) - (0)^2 = 5 > 0\]

Функция возрастает.

• На интервале (1, +∞) возьмем x = 2:
\[f'(2) = 5 - 4(2) - (2)^2 = 5 - 8 - 4 = -7 < 0\]

Функция убывает.

4. Определяем промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервале (-5, 1).
• Функция убывает на интервалах (-∞, -5) и (1, +∞).

5. Находим наибольшее и наименьшее значения функции:

Определим значения функции в критических точках:

\[f(-5) = 4 + 5(-5) - 2(-5)^2 - \frac{1}{3}(-5)^3 = 4 - 25 - 50 + \frac{125}{3} = -71 + \frac{125}{3} = \frac{-213 + 125}{3} = \frac{-88}{3} \approx -29.33\] \[f(1) = 4 + 5(1) - 2(1)^2 - \frac{1}{3}(1)^3 = 4 + 5 - 2 - \frac{1}{3} = 7 - \frac{1}{3} = \frac{21 - 1}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67\]

Так как функция убывает на (-∞, -5) и возрастает на (-5, 1), то в точке x = -5 у нас локальный минимум. А так как функция возрастает на (-5, 1) и убывает на (1, +∞), то в точке x = 1 у нас локальный максимум.

Но так как функция стремится к бесконечности при x → ±∞, наибольшего и наименьшего значения у функции нет.

Ответ:

• Промежутки возрастания: (-5, 1)
• Промежутки убывания: (-∞, -5) и (1, +∞)
• Локальный минимум: x = -5, f(-5) = -\frac{88}{3}
• Локальный максимум: x = 1, f(1) = \frac{20}{3}
• Наибольшего и наименьшего значения нет.

Ты молодец! У тебя всё получится!