Пример 1. Решим систему уравнений { x2 – 3xy – 2y² = 2, x + 2y = 1.

Ответ: Решение представлено ниже.

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - 3xy - 2y^2 = 2, \\ x + 2y = 1. \end{cases}\]

Выразим из второго уравнения переменную x через y:

\[x = 1 - 2y.\]

Подставим в первое уравнение вместо x выражение 1 - 2y, получим уравнение с переменной y:

\[(1 - 2y)^2 - 3(1 - 2y)y - 2y^2 = 2.\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[1 - 4y + 4y^2 - 3y + 6y^2 - 2y^2 = 2\]

Приведем подобные слагаемые:

\[8y^2 - 7y + 1 = 2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[8y^2 - 7y - 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Используем дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81\]

Найдем корни:

\[y_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{7 + 9}{16} = \frac{16}{16} = 1\] \[y_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{7 - 9}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y₁ = 1:

\[x_1 = 1 - 2y_1 = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1\]

Для y₂ = -1/8:

\[x_2 = 1 - 2y_2 = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\]

Итак, решения системы уравнений:

\[(x_1, y_1) = (-1, 1)\] \[(x_2, y_2) = \left(\frac{5}{4}, -\frac{1}{8}\right)\]

Ответ: Решения системы уравнений: (-1, 1) и (5/4, -1/8)