Пример 1. Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC. На его стороне AC взяли любую точку M. Докажите, что отрезок BM тоже пересекает данную прямую.

Обозначим данную прямую через l, а образуемые ею полуплоскости — через α и β.

1. Так как прямая l пересекает AB, точки A и B лежат в разных полуплоскостях. Пусть A ∈ α, B ∈ β.
2. Прямая l пересекает BC, поэтому B и C тоже лежат в разных полуплоскостях. Из B ∈ β следует, что C ∈ α.
3. Точки A и C принадлежат α, следовательно, весь отрезок AC лежит в α. Поскольку M ∈ AC, то M ∈ α.
4. Точки B и M лежат в разных полуплоскостях относительно l. Значит, отрезок BM пересекает l.

Что и требовалось доказать.