Пример 1. Середина стороны параллелограмма равноудалена от концов его противоположной стороны (рис. 34). Докажите, что этот параллелограмм — прямоугольник. Дано: параллелограмм ABCD, BM = MC, AM = MD. Доказать: ABCD — прямоугольник.

Так как ABCD — параллелограмм, то его диагонали AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. По условию точка M является серединой стороны BC и одновременно серединой стороны AD, то есть стороны BC и AD имеют общую середину и равны как противоположные стороны параллелограмма.

Рассмотрим треугольники ABM и DCM. В них: \(BM=MC\) по условию, \(AM=DM\) по условию, \(AB=CD\) как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, \(\triangle ABM=\triangle DCM\) по трём сторонам.

Отсюда \(\angle ABM=\angle DCM\). Эти углы являются внутренними односторонними при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(BC\), поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Так как углы равны, каждый из них равен \(90^\circ\). Значит, \(\angle ABC=90^\circ\).

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: ABCD — прямоугольник.