Пример 16. Найти область определения функции \(f(x)=\frac{\operatorname{ctg}x}{\sqrt{x}}\).

Для определения функции должны одновременно выполняться условия:

1. Корень находится в знаменателе, поэтому \(x>0\).

2. Котангенс определён, когда \(\sin x\ne 0\), то есть \(x\ne k\pi\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Объединяем условия: исключаем из положительных чисел все положительные целые кратные \(\pi\).

Ответ: \(D(f)=(0,+\infty)\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{N}\}\).