Пример 2. Прямая пересекает сторону треугольника и не проходит через его вершины. Докажите, что она пересекает ещё одну сторону этого треугольника.

Обозначим треугольник ABC, а данную прямую — через l. Пусть l пересекает сторону AB в точке D. Поскольку прямая не проходит через вершины, точка D не совпадает с A или B.

1. Прямая l делит плоскость на две полуплоскости. Так как отрезок AB пересекает l, вершины A и B лежат в разных полуплоскостях.
2. Вершина C находится либо в той же полуплоскости, что A, либо в той же полуплоскости, что B.
3. В первом случае отрезок BC соединяет точки из разных полуплоскостей, поэтому пересекает l. Во втором случае l пересекает AC.
4. Точка C не лежит на l, поскольку прямая не проходит через вершины. Поэтому пересечение со второй стороной действительно имеет место.

Что и требовалось доказать.