Пример 2. Свести к простейшему тригонометрическое уравнение: a) sin²x = 1/2; б) sin(3x/2)cos(x/2) - cos(3x/2)sin(x/2) = 1/2; в) sin(5x/2)sin(π/2 - x/2) + sin(π/2 + 5x/2)sin(x/2) = √2/2; г) sin⁴2x - cos⁴2x = 1/2; д) sin⁴x + cos⁴x = 5/8.

Решение:

a) \( \sin^2 x = \frac{1}{2} \)

Из данного уравнения следует:

\( \sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Это частные случаи значений синуса:

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) \( \sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \)

Используем формулу синуса разности \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \), где \( \alpha = \frac{3x}{2} \) и \( \beta = \frac{x}{2} \).

\( \sin\left(\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{2x}{2}\right) = \sin x \)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\( \sin x = \frac{1}{2} \)

Решением этого уравнения являются:

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Или в более общем виде: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

в) \( \sin\frac{5x}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5x}{2}\right)\sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Используем тригонометрические тождества:

\( \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha \)

\( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha \)

Подставляем в уравнение:

\( \sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos\frac{5x}{2}\sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Используем формулу синуса суммы \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \), где \( \alpha = \frac{5x}{2} \) и \( \beta = \frac{x}{2} \).

\( \sin\left(\frac{5x}{2} + \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{6x}{2}\right) = \sin(3x) \)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\( \sin(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Решением этого уравнения являются:

\( 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Делим на 3:

\( x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \) или \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

г) \( \sin^4 2x - \cos^4 2x = \frac{1}{2} \)

Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = \sin^2 2x \) и \( b = \cos^2 2x \).

\( (\sin^2 2x - \cos^2 2x)(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = \frac{1}{2} \)

Используем тригонометрические тождества:

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = -(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \)

Подставляем в уравнение:

\( (-\cos(2 \cdot 2x))(1) = \frac{1}{2} \)

\( -\cos(4x) = \frac{1}{2} \)

\( \cos(4x) = -\frac{1}{2} \)

Решением этого уравнения являются:

\( 4x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) или \( 4x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Делим на 4:

\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \) или \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

д) \( \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8} \)

Возведём в квадрат выражение \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\( (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 \)

\( \sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1 \)

\( (\sin^4 x + \cos^4 x) + 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 \)

Подставим данное значение \( \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8} \):

\( \frac{5}{8} + 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 \)

\( 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \)

Используем формулу двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \), тогда \( \sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x \).

\( \frac{1}{2} \cdot 4\sin^2 x \cos^2 x = \frac{3}{8} \)

\( \frac{1}{2} \sin^2(2x) = \frac{3}{8} \)

\( \sin^2(2x) = \frac{3}{4} \)

\( \sin(2x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Рассмотрим два случая:

1. \( \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) или \( 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \) или \( x = \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( 2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \) или \( 2x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = \frac{2\pi}{3} + \pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Объединяя все решения, получаем:

\( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \); б) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); в) \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \), \( k \in \mathbb{Z} \); г) \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \); д) \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2} \), \( k \in \mathbb{Z} \).