Пример 3. Упростим выражение \(a-1-\frac{a^2-3}{a+1}\).

ОДЗ: \(a+1\ne0\), поэтому \(a\ne-1\).

1. Представим первое слагаемое в виде дроби со знаменателем \(a+1\):
   \[a-1-\frac{a^2-3}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}-\frac{a^2-3}{a+1}.\]
2. Выполним вычитание дробей:
   \[\frac{(a-1)(a+1)-(a^2-3)}{a+1}.\]
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
   \[\frac{a^2-1-a^2+3}{a+1}=\frac{2}{a+1}.\]

Ответ: \(\frac{2}{a+1}\), \(a\ne-1\).