Пример 3. Выясним, сколько различных решений имеет логическое уравнение (А & B & C) v (B & C & D) = 1. Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из образующих её высказываний. Решение данного логического уравнения равносильно совокупности, состоящей из двух уравнений: A & B & C = 1; B & C & D = 1. Первое равенство будет выполняться только при А = 1, B = 0. Поскольку D в этом уравнении не задействовано, оно может принимать любое из двух значений (0 или 1). Таким образом, всего первое уравнение имеет два решения. Самостоятельно выясните, сколько решений имеет второе уравнение (из совокупности двух уравнений). Сколько решений имеет исходное уравнение?

Решение:

1. Решения второго уравнения:

• Второе уравнение: B & C & D = 1.
• Это равенство будет истинным только тогда, когда все переменные (B, C, D) равны 1.
• Таким образом, второе уравнение имеет одно решение: B=1, C=1, D=1.

2. Решения исходного уравнения:

• Исходное уравнение: (A & B & C) v (B & C & D) = 1.
• Это дизъюнкция двух конъюнкций. Она истинна, если истинна хотя бы одна из них.
• Случай 1: A & B & C = 1.
• Из этого следует: A=1, B=0, C=0.
• При этих значениях B & C & D будет равно 0 & 0 & D = 0, независимо от значения D.
• Таким образом, из этого случая мы получаем 2 решения: (A=1, B=0, C=0, D=0) и (A=1, B=0, C=0, D=1).

• Случай 2: B & C & D = 1.
• Из этого следует: B=1, C=1, D=1.
• При этих значениях A & B & C будет равно A & 1 & 1 = A.
• Чтобы исходное уравнение было истинным (равным 1), нам достаточно, чтобы B & C & D = 1 было истинным, что и выполняется.
• Значение A может быть как 0, так и 1.
• Таким образом, из этого случая мы получаем 2 решения: (A=0, B=1, C=1, D=1) и (A=1, B=1, C=1, D=1).

Общее количество решений:

• Мы имеем 2 решения из первого случая и 2 решения из второго случая.
• Решение (A=1, B=1, C=1, D=1) совпадает в обоих случаях.
• Следовательно, общее количество различных решений равно 2 + 2 - 1 = 3.

Ответ: Второе уравнение имеет 1 решение. Исходное уравнение имеет 3 решения.