Пример 4. Докажем равенство \(\frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x-1}{x^2+x}=\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+1}\).

ОДЗ: \(x^2-x=x(x-1)\ne0\) и \(x^2+x=x(x+1)\ne0\), поэтому \(x\ne-1,0,1\).

Преобразуем левую часть равенства:

\[\begin{aligned}\frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x-1}{x^2+x}&=\frac{x+1}{x(x-1)}-\frac{x-1}{x(x+1)}\\&=\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{x(x-1)(x+1)}\\&=\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4x}{x(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4}{(x-1)(x+1)}=\frac{4}{x^2-1}.\end{aligned}\]

Преобразуем правую часть:

\[\begin{aligned}\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x+1}&=\frac{2(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{2x+2-2x+2}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4}{(x-1)(x+1)}=\frac{4}{x^2-1}.\end{aligned}\]

Левая и правая части равенства имеют одинаковое значение, следовательно, равенство доказано.

Ответ: равенство верно при \(x\ne-1,0,1\).