Пример 4. На кассе универсама продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зеленых леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди именно в таком порядке покупают по одному леденцу. Кассир, не глядя, достает леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что: а) Таня и Ваня получат зеленые, а Маня — красный леденец; б) Таня и Маня получат синие, а Ваня — красный; в) Таня получит зеленый, Ваня — красный, а Маня — синий; г) все трое получат красные леденцы.

Решение:

Всего в коробке 10 + 9 + 6 = 25 леденцов.

Таня, Ваня и Маня покупают леденцы по очереди, поэтому нам нужно найти вероятность для каждого из них в последовательности.

а) Таня и Ваня получат зеленые, а Маня — красный леденец.

• Вероятность, что Таня получит зеленый леденец: \[ P(Т - зел) = \frac{6}{25} \]
• После того, как Таня взяла зеленый, осталось 24 леденца (10 красных, 9 синих, 5 зеленых).
• Вероятность, что Ваня получит зеленый леденец: \[ P(В - зел | Т - зел) = \frac{5}{24} \]
• После того, как Таня и Ваня взяли зеленые, осталось 23 леденца (10 красных, 9 синих, 4 зеленых).
• Вероятность, что Маня получит красный леденец: \[ P(М - кр | Т - зел, В - зел) = \frac{10}{23} \]
• Общая вероятность для случая (а): \[ P(a) = \frac{6}{25} \times \frac{5}{24} \times \frac{10}{23} = \frac{300}{13800} = \frac{1}{46} \]

б) Таня и Маня получат синие, а Ваня — красный.

• Вероятность, что Таня получит синий леденец: \[ P(Т - син) = \frac{9}{25} \]
• После Тани осталось 24 леденца (10 красных, 8 синих, 6 зеленых).
• Вероятность, что Ваня получит красный леденец: \[ P(В - кр | Т - син) = \frac{10}{24} \]
• После Тани и Вани осталось 23 леденца (9 красных, 8 синих, 6 зеленых).
• Вероятность, что Маня получит синий леденец: \[ P(М - син | Т - син, В - кр) = \frac{8}{23} \]
• Общая вероятность для случая (б): \[ P(б) = \frac{9}{25} \times \frac{10}{24} \times \frac{8}{23} = \frac{720}{13800} = \frac{6}{115} \]

в) Таня получит зеленый, Ваня — красный, а Маня — синий.

• Вероятность, что Таня получит зеленый: \[ P(Т - зел) = \frac{6}{25} \]
• После Тани осталось 24 леденца (10 красных, 9 синих, 5 зеленых).
• Вероятность, что Ваня получит красный: \[ P(В - кр | Т - зел) = \frac{10}{24} \]
• После Тани и Вани осталось 23 леденца (9 красных, 9 синих, 5 зеленых).
• Вероятность, что Маня получит синий: \[ P(М - син | Т - зел, В - кр) = \frac{9}{23} \]
• Общая вероятность для случая (в): \[ P(в) = \frac{6}{25} \times \frac{10}{24} \times \frac{9}{23} = \frac{540}{13800} = \frac{9}{230} \]

г) Все трое получат красные леденцы.

• Вероятность, что Таня получит красный: \[ P(Т - кр) = \frac{10}{25} \]
• После Тани осталось 24 леденца (9 красных, 9 синих, 6 зеленых).
• Вероятность, что Ваня получит красный: \[ P(В - кр | Т - кр) = \frac{9}{24} \]
• После Тани и Вани осталось 23 леденца (8 красных, 9 синих, 6 зеленых).
• Вероятность, что Маня получит красный: \[ P(М - кр | Т - кр, В - кр) = \frac{8}{23} \]
• Общая вероятность для случая (г): \[ P(г) = \frac{10}{25} \times \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} = \frac{720}{13800} = \frac{6}{115} \]

Ответ:

• а) \[ \frac{1}{46} \]
• б) \[ \frac{6}{115} \]
• в) \[ \frac{9}{230} \]
• г) \[ \frac{6}{115} \]