Пример 4. Пусть надо решить уравнение: \(\frac{x-4}{3} + \frac{2(x+1)}{4} - 1 = \frac{5(x-3)}{2} + 2x - \frac{11x+43}{6}\)

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 4, 2, 6 равен 12.

Умножим обе части уравнения на 12:

\[
12 · \left( \frac{x-4}{3} + \frac{2(x+1)}{4} - 1 \right) = 12 · \left( \frac{5(x-3)}{2} + 2x - \frac{11x+43}{6} \right)
\]

Раскроем скобки:

\[
4(x-4) + 3 · 2(x+1) - 12 = 6 · 5(x-3) + 24x - 2(11x+43)
\]

Упростим:

\[
4x - 16 + 6(x+1) - 12 = 30(x-3) + 24x - 22x - 86
\] \[
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 2x - 86
\]

Сгруппируем члены с \(x\) и свободные члены:

\[
10x - 22 = 32x - 176
\]

Перенесём члены с \(x\) в правую часть, а свободные члены — в левую:

\[
-22 + 176 = 32x - 10x
\] \[
154 = 22x
\]

Найдём \(x\):

\[
x = \frac{154}{22}
\] \[
x = 7
\]

Проверка:

Левая часть: \( \frac{7-4}{3} + \frac{2(7+1)}{4} - 1 = \frac{3}{3} + \frac{2 \cdot 8}{4} - 1 = 1 + \frac{16}{4} - 1 = 1 + 4 - 1 = 4 \)

Правая часть: \( \frac{5(7-3)}{2} + 2 \cdot 7 - \frac{11 \cdot 7 + 43}{6} = \frac{5 \cdot 4}{2} + 14 - \frac{77 + 43}{6} = \frac{20}{2} + 14 - \frac{120}{6} = 10 + 14 - 20 = 24 - 20 = 4 \)

Левая часть равна правой части, значит, решение верное.

Ответ: x = 7.