Пример 4. Выясним, сколько решений имеет очень простое логическое уравнение Х₁ & Х₂ → Х₃ & Х₄ = 1. Введём замену переменных. Пусть t₁ = Х₁ & Х₂, t₂ = x₃ & X₄

Решение:

Исходное уравнение: Х₁ & Х₂ → Х₃ & Х₄ = 1

Вводим замену переменных:

• t₁ = Х₁ & Х₂
• t₂ = Х₃ & Х₄

Тогда уравнение принимает вид:

• t₁ → t₂ = 1

Импликация p → q истинна во всех случаях, кроме случая, когда p истинно (1), а q ложно (0). То есть, 1 → 0 является ложным.

В нашем случае t₁ → t₂ = 1 истинно, если:

1. t₁ = 0 (неважно, какое значение у t₂)
2. t₂ = 1 (неважно, какое значение у t₁)

Рассмотрим возможные значения t₁ и t₂:

• Случай 1: t₁ = 0.
• t₁ = Х₁ & Х₂ = 0. Это происходит, когда Х₁ = 0 или Х₂ = 0 (или оба равны 0).
• t₂ = Х₃ & Х₄ может быть как 0, так и 1.
• Если t₂ = 0 (Х₃ = 0 или Х₄ = 0): 0 & 0 = 0 (ложно).
• Если t₂ = 1 (Х₃ = 1 и Х₄ = 1): 0 → 1 = 1 (истинно).
• Таким образом, для t₁ = 0, t₂ может быть 0 или 1.
• Подслучай 1.1: t₁ = 0, t₂ = 0.
• Х₁ & Х₂ = 0 (3 варианта: (0,0), (0,1), (1,0)).
• Х₃ & Х₄ = 0 (3 варианта: (0,0), (0,1), (1,0)).
• Общее количество комбинаций: 3 * 3 = 9.
• Подслучай 1.2: t₁ = 0, t₂ = 1.
• Х₁ & Х₂ = 0 (3 варианта: (0,0), (0,1), (1,0)).
• Х₃ & Х₄ = 1 (1 вариант: (1,1)).
• Общее количество комбинаций: 3 * 1 = 3.
• Случай 2: t₁ = 1.
• t₁ = Х₁ & Х₂ = 1. Это возможно только при Х₁ = 1 и Х₂ = 1 (1 вариант).
• Для истинности импликации t₁ → t₂ = 1, при t₁ = 1, t₂ должно быть равно 1.
• t₂ = Х₃ & Х₄ = 1. Это возможно только при Х₃ = 1 и Х₄ = 1 (1 вариант).
• Таким образом, для t₁ = 1, t₂ должно быть 1.
• Подслучай 2.1: t₁ = 1, t₂ = 1.
• Х₁ & Х₂ = 1 (1 вариант: (1,1)).
• Х₃ & Х₄ = 1 (1 вариант: (1,1)).
• Общее количество комбинаций: 1 * 1 = 1.

Итоговое количество решений:

• Складываем количество комбинаций из всех подслучаев: 9 (из 1.1) + 3 (из 1.2) + 1 (из 2.1) = 13.

Ответ: Данное логическое уравнение имеет 13 решений.