Пример 5. Из треугольника ABC случайным образом выбирается точка X. Найдём вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.

Пусть середины сторон треугольника \(ABC\) образуют внутренний треугольник.

1. Соединим середины сторон треугольника \(ABC\). По теореме о средней линии получившийся треугольник подобен треугольнику \(ABC\) с коэффициентом подобия \(\frac{1}{2}\).
2. Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: \(\frac{S_{\text{внутр}}}{S_{ABC}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\).
3. Так как точка выбирается равновероятно из всего треугольника \(ABC\), искомая вероятность равна отношению площадей: \(P=\frac{S_{\text{внутр}}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}\).

Ответ: \(\frac{1}{4}=0.25\), или 25%.