Пример №7. Решите уравнение: ∛(5 − x) + ∛(x + 5) = 1.

Обозначим a = ∛(5 − x) и b = ∛(x + 5). Тогда a + b = 1, а a³ + b³ = 10.

1. Используем тождество a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b). Получаем 10 = 1 − 3ab, значит, ab = −3.
2. Числа a и b — корни уравнения t² − t − 3 = 0. Поэтому каждое из них равно (1 ± √13)/2.
3. Так как a³ = 5 − x, то x = 5 − a³. Из a² = a + 3 следует a³ = 4a + 3, откуда x = 2 − 4a. Подстановка двух значений a даёт x = −2√13 или x = 2√13.

Ответ: x = ±2√13.