Пример. Доказать, что точки A(5, 7, −2), B(3, 1, −1), C(9, 4, −4), D(1, 5, 0) лежат в одной плоскости.

Найдём векторы с началом в точке A: \(\overrightarrow{AB}=(-2,-6,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(4,-3,-2)\), \(\overrightarrow{AD}=(-4,-2,2)\).

Их смешанное произведение:

\[\left|\begin{matrix}-2&-6&1\\4&-3&-2\\-4&-2&2\end{matrix}\right|=0.\]

Следовательно, векторы компланарны, а значит, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Например, уравнение этой плоскости: \(x+2z=1\). Подстановка координат каждой из четырёх точек удовлетворяет этому уравнению.

Ответ: точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.