Пример. Построить график кусочной функции y = {-5/x, x <= -1; x^2 - 4x, x > -1}

Решение:

Для построения графика кусочной функции необходимо рассмотреть каждую её часть отдельно, учитывая заданные условия для x.

• Первая часть функции: y = -5/x для x <= -1. Это гипербола, которая в данном случае находится во II и IV четвертях. Так как x отрицательный, ветви гиперболы будут расположены во II четверти. При x = -1, y = -5/(-1) = 5. Точка (-1, 5) является граничной.

• Вторая часть функции: y = x2 - 4x для x > -1. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: xвершины = -b/(2a) = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2. Значение y в вершине: yвершины = 22 - 4*2 = 4 - 8 = -4. Вершина параболы находится в точке (2, -4). При x = -1 (предельное значение), y = (-1)2 - 4*(-1) = 1 + 4 = 5. Точка (-1, 5) является граничной для этой части функции, но так как условие x > -1, эта точка будет «выколотой» на графике.

График:

На графике синяя линия представляет собой часть гиперболы y = -5/x для x <= -1. Красная линия представляет собой параболу y = x2 - 4x для x > -1. Точка (-1, 5) является общей для обеих частей функции, но для параболы она не включается в график (отмечена как «выколотая»).