Пример. Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C(6, 2, 3), D(3, 7, 2). Найти длину высоты, опущенной на грань BCD.

Обозначим векторы с началом в точке A: \(\overrightarrow{AB}=(2,3,4)\), \(\overrightarrow{AC}=(6,2,2)\), \(\overrightarrow{AD}=(3,7,1)\).

Смешанное произведение этих векторов равно определителю:

\[\left|\begin{matrix}2&3&4\\6&2&2\\3&7&1\end{matrix}\right|=2(2-14)-3(6-6)+4(42-6)=120.\]

Объём пирамиды составляет одну шестую модуля смешанного произведения:

\[V=\frac{120}{6}=20.\]

Для грани BCD найдём векторы \(\overrightarrow{BC}=(4,-1,-2)\) и \(\overrightarrow{BD}=(1,4,-3)\). Их векторное произведение равно \((11,10,17)\), поэтому его длина равна \(\sqrt{11^2+10^2+17^2}=\sqrt{510}\). Площадь грани: \(S_{BCD}=\frac{\sqrt{510}}{2}\).

Используем формулу объёма \(V=\frac13 S_{BCD}h\):

\[h=\frac{3V}{S_{BCD}}=\frac{60}{\sqrt{510}}=\frac{2\sqrt{510}}{17}.\]

Ответ: \(V=20\), \(h=\frac{2\sqrt{510}}{17}\).