Примерные практические задания: Сумма углов треугольника 1. В треугольнике АВС угол В равен 48°, а внешний угол при вершине А равен 100°. Найдите угол ВСА. 2. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 46°. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине другого острого угла треугольника. 3. В равнобедренном треугольнике внешний угол при вер- шине, противолежащей основанию, равен 140°. Найдите угол при основании треугольника. 4. В треугольнике АВС внешний угол при вершине А на 64° больше внешнего угла при вершине В. Найдите угол В, если угол С равен 80°. 5. В равностороннем треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BF, которые пересекаются в точке О. Найдите угол AOF.

Ответ: 1) ∠BCA = 52°; 2) 44°; 3) 70°; 4) ∠B = 48°; 5) ∠AOF = 120°

1. Задача 1:
   В треугольнике ABC угол B равен 48°, а внешний угол при вершине A равен 100°. Найдите угол BCA.
   • Сумма смежных углов равна 180°, поэтому ∠BAC = 180° - 100° = 80°.
   • Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠BCA = 180° - (∠BAC + ∠B) = 180° - (80° + 48°) = 180° - 128° = 52°.

   Ответ: ∠BCA = 52°

2. Задача 2:
   В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 46°. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине другого острого угла треугольника.
   • В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
   • Другой острый угол равен 90° - 46° = 44°.
   • Внешний угол при вершине равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним, то есть внешний угол равен 90° + 46° = 136° или просто 180° - 44° = 136°.

   Ответ: 44°

3. Задача 3:
   В равнобедренном треугольнике внешний угол при вершине, противолежащей основанию, равен 140°. Найдите угол при основании треугольника.
   • Внешний угол при вершине равен 140°, значит, угол при вершине равен 180° - 140° = 40°.
   • Сумма углов при основании равна (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

   Ответ: 70°

4. Задача 4:
   В треугольнике ABC внешний угол при вершине A на 64° больше внешнего угла при вершине B. Найдите угол B, если угол C равен 80°.
   • Пусть внешний угол при вершине B равен x, тогда внешний угол при вершине A равен x + 64°.
   • Внутренние углы: ∠A = 180° - (x + 64°), ∠B = 180° - x.
   • Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
   • Подставляем: (180° - (x + 64°)) + (180° - x) + 80° = 180°.
   • Упрощаем: 180° - x - 64° + 180° - x + 80° = 180°.
   • 380° - 2x - 64° = 180°.
   • 316° - 2x = 180°.
   • 2x = 316° - 180° = 136°.
   • x = 68°.
   • ∠B = 180° - x = 180° - 68° = 48°.

   Ответ: ∠B = 48°

5. Задача 5:
   В равностороннем треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BF, которые пересекаются в точке O. Найдите угол AOF.
   • В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
   • Биссектрисы делят углы пополам, поэтому ∠BAF = ∠BAD = 30°.
   • Рассмотрим треугольник AOF. ∠OAF = ∠BAF = 30°.
   • ∠AFO = 180° - ∠BAF - ∠ABF.
   • ∠ABF = 30°.
   • Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠AOF = 180° - (∠OAF + ∠AFO) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

   Ответ: ∠AOF = 120°

Ответ: 1) ∠BCA = 52°; 2) 44°; 3) 70°; 4) ∠B = 48°; 5) ∠AOF = 120°